退一步海阔天空：对分布成因公式自我解套

美国归侨冯向军博士，2017年8月3日写于美丽家乡

 人生最大的敌人是自己。搞科学研究最大的障碍还是自己。经过一整天的思想斗争，我终于决定对分布成因公式自我解套，限定了应用范围。退一步海阔天空，苦海无边，回头是岸。我心当下得解脱。

 即便退了一步，我也还是极大地推广了由二项分布推导泊松分布再由泊松分布导出负指数分布这一传统思路。

历史或将铭记这个至简至明的分布成因公式

美国归侨冯向军博士，2017年8月3日写于美丽家乡

np = -log(f(x)) (1-1)

【定理】对于任意给定的分布f(x)，假设可将f(x)视为在变量间隔x以后指定事件才出现的特殊形式的二项概率分布,那么导致成就f(x)的原因就是参数np满足式（1-1）。这其中n是把变量x等分后的等分数，而p是指定事件在任意变量等分片段上出现一次的概率。np可解读为指定事件在变量间隔x内实际可能出现的总次数的统计平均值。因为-log(f(x))可解读为给定分布所包含的信息

I = -log(f(x)),所以又有给定分布f(x)的成因是：

         np = 给定分布f(x)所包含的信息I  (1-2)        

证明：

（一）二项分布

考察由n次随机实验所组成的随机现象，它满足以下条件：1)重复进行n次随机实验；2)n次实验相互独立；3)每次实验仅有两个可能结果；4)每次实验中给定事件出现的概率为p，不出现的概率为1-p。假设X表示n次独立重复实验中给定事件出现的次数，显然X是可以取0，1，…，n等n+1个值的离散随机变量。设这n次实验中，每个“给定事件出现k次的结果”为Ek，显然Ek的发生概率为p^k(1-p)^n-k。因为这样的结果有：n!/k!(n-k)!个，所以按照柯尔莫哥洛夫概率的可加性，这n次实验中，给定事件出现k次的概率

P(X=k) = n!/(k!(n-k)!)p^k (1-p)^(n-k)        (1-3)

（1-3）式就是二项分布的概率分布表达式。

（二）任意给定的分布f(x)的成因

假设把变量x等分成n个变量片段。当n足够大时，在每个等分变量片段上给定事件要么出现1次，要么不出现。又假设给定事件出现（1次）的概率p与变量x及其等分数n成一较为复杂的待定函数关系，有：p = λy(x)/n,这其中y(x)是关于变量x的待定函数。

按（1-3）式，变量间隔x之内给定事件出现的概率的分布为

P(X = k) = n!/(k!(n-k)!)(λy(x)/n)^k (1-λy(x)/n)^(n-k)        (1-4)

P（X = k) = n!/(n^k(n-k)!)(1-λy(x)/n)^-k（λy(x))^k/k!（1-λy(x)/n)ⁿ

考察给定事件在变量间隔x以后才出现的概率P₀(x),就有：

P₀(x) = P(X=0) = (1-λy(x)/n)ⁿ    (1-5)

当n->无穷大，有：

P₀(x) = exp(-λy(x))    (1-6)

下面来确定待定函数y(x)和参数np。

命：P₀(x) = 任意给定的合乎条件的分布f(x)，就有：

待定函数 y(x) = -1/λlog(f(x)) (1-7)

参数np = λy(x) = -log(f(x)) (1-8)

这其中n是把变量x等分后的等分数，而p是指定事件在任意变量等分片段上出现一次的概率。np可解读为指定事件在变量间隔x内实际可能出现的总次数的统计平均值。因为

-log(f(x))可解读为给定分布所包含的信息I = -log(f(x)),所以又有给定分布f(x)的成因是：

np = 给定分布f(x)所包含的信息I

证毕。

【举例】

（1）负指数分布：因为 f(x) = aexp(-λx)，所以 np = -log(a) +  λx。

（2）幂律分布：因为 f(x) = ax^-λ，所以 np = -log(a) +  λlog(x)。

（3）Tsallis 分布：因为f(x) = a(1 - (1-q1)λx)^1/(1-q1)，所以

np  = -log(a) + 1/(q1-1)log(1 - (1-q1)λx)。