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哥德尔不完全性定理的内容和有效范围 (3) 各种典型误解实例

程京德

从笔者前面三篇关于哥德尔不完全性定理的博文（“哥德尔不完全性定理之原始陈述” http://blog.sciencenet.cn/blog-2371919-943124.html, “哥德尔不完全性定理的内容和有效范围 (1) 哥德尔断定了什么？” http://blog.sciencenet.cn/blog-2371919-986744.html, “哥德尔不完全性定理的内容和有效范围 (2) 哥德尔并没有断定什么？” http://blog.sciencenet.cn/blog-2371919-989704.html）到今天已经有些时光了，一直忙其他工作，顾不上调查文献并且接着写完。

今天看到科学网上一篇精选博文（“他写下人类最高成就，粉碎了上千年的数学信念，还迷倒了爱因斯坦”），才觉得必须要抽时间继续做科普工作了。本文将以渐进（未必是以对象文章发表时间为序）方式列举一些对哥德尔不完全性定理的典型误解实例，以正式公开发表的文章为对象。

在科学网精选博文“他写下人类最高成就，粉碎了上千年的数学信念，还迷倒了爱因斯坦”(http://blog.sciencenet.cn/blog-2966991-1052754.html)中，作者如下写道：

“哥德尔提出的不完备定理证明了一个可怕的事实。任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。也就是说，“相容”和“完备”是不能同时满足的！当然对于普通人来说，哥德尔的这个定理是非常晦涩难懂的。总之其证明了一点，从古至今的数学家都认为所有数学问题是可以被完美证明的，只要不断地努力，总有一天数学将变得无懈可击。而哥德尔不完备定理告诉所有人，数学问题并不是都能被证明的，你们的数学不是完美的。”

这段对哥氏定理的解释，几乎句句都在曲解哥氏定理。首先，哥氏定理不是关于“公理体系”的而是关于“形式系统”的（由此可以看出作者大概没有知识和能力在概念上区分这两者）。其次，“包含初等算术的陈述”是一句非常含混而不严谨的界定，不知作者是否真的能够说清楚什么是“初等算术的陈述”，什么是“包含”？再次，“也就是说，“相容”和“完备”是不能同时满足的！”  这句话似乎是作者为哥氏定理结论所做的解释，哥氏定理哪里给出这样的结论了？除去对哥德尔不完全性定理的误解，上面这段话中的后面部分，也是对数学家们以及数学史的曲解和胡说，充分显示了作者的无知。

笔者本人当然不会幼稚到期待科学网编辑具备判断该博文内容正确性的知识和能力，仅从标题、众多图片、由大量形容词和副词堆砌的“华丽”语句，该文被科学网编辑认定为精选博文也不奇怪。但是，对于在最最要害之处问题多多的该文，和科学网编辑同样不具备专业判断力的非专业人士、青年学生、少年儿童如果全面相信和接受该文的话，那可是上当不浅；从这个意义来说，该文“误人子弟”！关于笔者本人对科普文章作者之责任的观点，有兴趣的读者请看笔者专门申明的博文“科普文章作者的责任”（http://blog.sciencenet.cn/blog-2371919-1053444.html）。

（2017年5月5日记，2017年5月9日补充）

在科学网上检索了一下“哥德尔定理”，得到的博文信息之多，令人吃惊！哈哈，难怪……。

在科学网精选博文“我对数学的管窥蠡测”(http://blog.sciencenet.cn/blog-660333-664253.html)中，作者如下写道：

“希尔伯特提出自己思索已久的克服数学危机的方案，称为“形式主义纲领”或“希尔伯特纲领”，目的是建立一个包罗万象的数学体系，使得每个命题在这个体系下都可以指出对错。希尔伯特的这种努力不久后被逻辑学家哥德尔打破了。哥德尔在1931年证明了后来被称为不完全性的定理（Godel Incompleteness Theorem）：任何数学体系均有它既不能证明也不能证伪的命题。”

上文言及的所谓“数学危机”，应该由是19世纪末20世纪初发现的一系列悖论（康托悖论，罗素悖论，瑞恰德悖论等等）而引发的数学基础及数学严格性问题。希尔伯特提出的方案，要解决的问题是如何论证数论或者数学分析这样的古典数学的一致性，亦即，不会存在逻辑矛盾。其目的不是上文作者所说的“建立一个包罗万象的数学体系，使得每个命题在这个体系下都可以指出对错”。哥氏定理的结论当然不是作者所说的“任何数学体系均有它既不能证明也不能证伪的命题”。估计作者并不了解形式系统中“形式证明”的概念，以通常字面上的意义去理解“证明”，所以才有了“证伪”这样的说法。

在科学网精选博文“正面回击：哥德尔定理和西蒙的哲学（3）”(http://blog.sciencenet.cn/blog-731678-664470.html)中，作为对上个实例博文的“正面回击”，作者如下写道：

“哥德尔证明了以下两个被统称为“哥德尔不完备性定理”的定理（摘自wikipedia中文版）：

【定理一】任何相容的形式体系，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题（即体系是不完备的）。Any effectively generated theory capable of expressing elementary arithmetic cannot be both consistent and complete. In particular, for any consistent, effectively generated formal theory that proves certain basic arithmetic truths, there is an arithmetical statementthat is true,[1] but not provable in the theory (Kleene 1967, p. 250). （wikipedia上英文比较清楚，但是要需要解释的太多，就不翻译了）

【定理二】任何相容的形式体系，只要蕴涵皮亚诺算术公理，它就不能用于证明它本身的相容性。For any formal effectively generated theory T including basic arithmetical truths and also certain truths about formal provability, if T includes a statement of its own consistency then T is inconsistent. （wikipedia上英文比较清楚，但是要需要解释的太多，就不翻译了）”

笔者曾经在以前的博文中说过，现在有些“学者”居然依靠用Wikipedia和百度查询来的信息写作，此精选博文便是一个实例。在此实例中，摘自Wikipedia中文版的对哥德尔不完全性定理的中文陈述，以及Wikipedia的英文解释都不严谨而含混。从中文陈述内容来看，似乎作者们（Wikipedia中文版及该博文）区分不开形式系统内“形式证明”和形式系统外“元证明”在概念上的不同。

（2017年5月5日晚记）

在科学网精选博文“哥德尔定理的证明——1 背景和内容”(http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-691945.html)中，作者为了“让有理工科基础的读者能领会精神，数学、计算机和哲学专业了解数理逻辑的读者，能够消化这个证明”而如下写道：

“现在互联网可以很方便地得到信息，从网上很快能了解到哥德尔定理（Gödel's Theorem）的严谨陈述【1】（本博文笔者注：作者列出的参考文献【1】为Wikipedia词条，请读者参看原精选博文），但是进一步的解读往往似是而非，一些推论或反驳多是从字面上的联想和发挥。”

“罗素和怀特海在1910-1913年出版了三卷的《数学原理》，他们自信已将全部的数学建立在纯逻辑的基础上，为今后的所有数学打下了坚实的基础。”

“哥德尔根据《数学原理》构造出一个简单的包含着皮亚诺算术公理的形式演算系统，称之为PM。哥德尔定理有两个结论，这结论对任何包含有自然数加法和乘法的形式公理系统也成立： 1. PM如果是相容的（consistent）则是不完备的（incomplete）。2. PM不能证明自身的相容性（consistency）。”

笔者前面说过，现在有些“学者”居然依靠用Wikipedia和百度查询来的信息写作，此精选博文为又一个实例，此文列举的4条参考文献中，3条是Wikipedia词条，1条是哥氏定理证明的科普著作。

在此实例中，精选博文作者关于哥德尔不完全性定理的第一句话就完全错了。首先，作为学术界一个周知的习惯，“PM”是指 Whitehead 和 Russell 在1910年至1913年间所著三卷本学术名著 “Principia Mathematica”（Russell 在1903年先写就了 “Principles of Mathematics”，然后与 Whitehead 合作写就三卷本之后用意义相同的拉丁文命名，1903年计划的第四卷最终没有完成）。其次，哥德尔在其1931年论文中的第一段及脚注2就明明白白地说明了 “the system of Principia Mathematica (PM) and, on the other, the axiom system for set theory of Zermelo-Fraenkel (later extended by J. v. Neumann)” (摘自哥德尔1931年论文英译)是什么，而完全不是作者所胡说的“哥德尔根据《数学原理》构造出一个简单的包含着皮亚诺算术公理的形式演算系统，称之为PM”。这些都是经过数理逻辑基本训练或者读过最基本的数理逻辑史或数学基础论专业书籍的人都知道的重要事实，不可随便歪曲的。

必须明确地指出，历史事实是，罗素和怀特海从未像精选博文作者所说的那样“自信已将全部的数学建立在纯逻辑的基础上，为今后的所有数学打下了坚实的基础”，而是恰恰相反。罗素在1901年发现了著名的罗素悖论(Russell's paradox)之后，为了解决悖论问题而发展建立了类型论，从经典逻辑演算出发，再加上两条非逻辑公理（无穷公理和选择公理），才具体推导出了部分数学。

精选博文作者关于哥德尔不完全性定理以及有效范围的解释，大概是从Wikipedia或者百度抄来的，描述也是含混不清的，“结论对任何包含有自然数加法和乘法的形式公理系统也成立”这一说法显然不对。哥德尔提出和证明的不完全性定理，是数理逻辑学史上严谨地定义概念，严格地运用逻辑推论规则的典范，岂可随意曲解而不破坏其原始意义？

从精选博文作者把Wikipedia词条解释看作为“严谨陈述”来写作以及笔者在上面指出的错误来看，该系列精选博文的内容究竟是否不像该作者批评别人的那样，不是“似是而非”，不是“从字面上的联想和发挥”，是否达到该作者的目的：“让有理工科基础的读者能领会精神，数学、计算机和哲学专业了解数理逻辑的读者，能够消化这个证明”了，请本文读者各自判断吧，笔者在这里仅仅举出实例就事论事，其它评价在这里就省去了。

（2017年5月7日记）

在科学网博文“从哥德尔不完备定理想到的”(http://blog.sciencenet.cn/blog-401820-941028.html)中，作者在首先给出了哥德尔不完全性定理的Wikipedia英语词条解释和百度中文词条解释的两个链接之后，如下写道：

“哥德尔不完备定理是数理逻辑领域的一个重要定理，某种意义上颠覆了人类的世界观。但是对哥德尔不完备定理有很多误读。本文企图对此澄清。”

“哥德尔第一不完备定理的结论是：ZFC系统存在不可判别命题。所谓不可判别命题，就是在承认ZFC无矛盾的条件下，把这个命题或者命题的否定添加入ZFC都不至于引发矛盾。”

“哥德尔第二不完备定理的结论则更加惊悚。这个定理说明：如果一个（强度足以证明基本算术公理的）公理系统可以用来证明它自身的无矛盾性，那么它是有矛盾的。”

首先，作者本人没有说明在文首给出哥德尔不完全性定理的Wikipedia英语词条解释和百度中文词条解释的两个链接到底是何用意。是用来作为哥氏定理标准解释的参考文献？还是用来作为“误读”的实例？笔者虽不能武断地断定，但是从此文内容来看觉得作者的用意似乎是前者而非后者；理由是，如果是后者，那么作者本人应该是会在文章中说明何处何为“误读”的。如果笔者的感觉不错，那么此文便是依靠用Wikipedia和百度查询来的信息写作的又一个实例（何其多啊！）。

其次，尽管作者写作此文的目的是“对哥德尔不完备定理有很多误读。本文企图对此澄清”，但是作者对于哥德尔不完全性定理的解释并不清晰严谨，大概称其仍然是“误读”甚至是“歪曲”也不过分。笔者在下面针对此文对哥氏定理的“误读”和“歪曲”逐条进行剖析。

“ZFC系统存在不可判别命题。”  除去“判别”这个非标准用词（标准用词是“判定”）不论，作者的这一解释无端地缩小了哥氏第一不完全性定理的有效范围，大大地损伤了该定理本来的意义。大多数常见的对哥氏定理的误解是任意地扩大其有效范围，而缩小其有效范围的误解少见，此博文为一个实例。哥氏定理的结论和有效范围原本是“对于所有基于经典数理逻辑的、包含初等数论的、ω一致的形式系统”（参见：“哥德尔不完全性定理的内容和有效范围(1) 哥德尔断定了什么？” http://blog.sciencenet.cn/blog-2371919-986744.html），作者肆意缩小其范围，大概是由于作者不知道哥德尔的工作的出发点和目的。

“如果一个（强度足以证明基本算术公理的）公理系统可以用来证明它自身的无矛盾性，那么它是有矛盾的。”  作者的这一解释已经不是对哥氏定理的误解，可以说是歪曲了。公理系统和形式系统完全不是一回事，哥德尔的工作全部都是针对形式系统而非随便什么公理系统的。作者自己大概根本就说不清什么是“一个（强度足以证明基本算术公理的）公理系统”，所以大概并不知道自己在说些什么。哥氏第二不完全性定理原本是“对于一个基于经典数理逻辑的、递归的、一致的形式系统，表达其一致性的命题在该系统中不可证”（参见：“哥德尔不完全性定理的内容和有效范围 (1) 哥德尔断定了什么？” http://blog.sciencenet.cn/blog-2371919-986744.html），作者上述解释的后半段对哥氏定理的歪曲是明显的。

最后，蛇足一句，笔者未能从此博文中读出，作者自己究竟从哥氏定理“想到”了些什么？

（2017年5月10日记）

在一篇最近的文章 “吴文俊先生的思想对我学术研究的影响”(微信号：老顾谈几何)中，作者如下写道：

“哥德尔的不完备定理指出对于任何一个包含算术公理的公理体系，都存在一个命题，其真与假都不与公理体系矛盾。”

这个实例对哥德尔不完全性定理的解释错误，如同我们在上面已经指出过的，是非常明显的；其有趣之处在于，它向我们显示了，即便是专业数学家，只要不是真正经过数理逻辑训练的或者认真学习过数学基础论（元数学）的，仍然会对哥氏定理做出错的很离谱的解释。

（2017年5月12日记）

在科学网博文“哥德尔定理科普的常见问题——逻辑学笔记2”(http://blog.sciencenet.cn/blog-1255140-1031284.html)中，作者如下写道：

“是否对于任一个数学命题我们都能证明其正确还是错误呢？会不会存在某些正确的命题，而我们又无法证明它呢？逻辑学家哥德尔证明了这样的命题确实是存在的。他构造了一个命题，这个命题及其否命题都无法证明。正命题和否命题，必然一个正确一个错误。由于两者都无法证明，所以说明存在着正确而又不能证明的命题。”

这是一个貌似正确但是实际上很有问题的解说实例，哥德尔当然从来都没有证明过作者所说的事情。这个实例对哥德尔不完全性定理的解释错误，在于完全没有明确界定这里所说的“证明”是什么的情形下，随意断定哥德尔“证明”了“存在某些正确的命题，而我们又无法“证明”（笔者注：这里的引号是笔者加的）它”。估计作者没有元数学知识，分不清楚在这里（亦即，哥德尔证明不完全性定理这件事情）实际上存在两种完全不同的“证明”概念：哥德尔“证明”其不完全性定理时所用的元数学证明，以及不完全性定理的断定中所涉及的目标数学证明（亦即，有穷观点证明）。如果让笔者来用最通俗但不失严谨的话来改写作者的话，那么应该是如下这样的：“哥德尔用元数学方法证明了：在基于经典数理逻辑的算术形式系统中，构造出用有穷证明方法不可证的真命题的方法是可以给定的。”

（2017年5月20日记）

在今天发表的一篇文章“彪炳千秋吴方法”(微信号：老顾谈几何)中，作者如下写道：

“公理化系统首先建立一系列“不可辩驳”的公理（axioms），然后通过逻辑演算来推演引理、定理和推论，从而推演出整个理论体系。只要承认公理，那么所有的推导结果必然自动为真。特别是所有的推演过程都可以严格检验，由机械完成。”

“历史上，以希尔伯特（Hilbert）为代表的数学家力图用公理化方法来统一整个数学，建立一个包罗万象的公理系统，来囊括所有的数学真理。哥德尔的不完备性定理否定了这一宏伟蓝图。哥德尔证明任意一个包含初等数论的公理系统，并且是自洽的，它必定包含某些命题，这些命题的真伪无法被该系统证明；如果此系统无矛盾，则其无矛盾性不可能在此系统内证明。这意味着，对于任意包含有限公理的形式系统，存在一条数学真理，此系统可以表述但是无法证明，因此真理的探索过程是无止境的；同时，这一系统的无矛盾性，必须由其他系统来证明。”

“欧几里得几何的公理体系不包含初等数论，它是完备的。”

从这个实例的作者陈述内容来看，作者应该是没有真正经过数理逻辑训练或者认真学习过数学基础论（元数学）的。作者区分不开具体公理系统和抽象公理系统的不同，区分不开公理系统和形式系统的不同，区分不开哥德尔工作中元数学“证明”概念和目标形式系统“证明”概念的不同而将两者混为一谈。

作者对其所说的“公理化系统”“推演出整个理论体系”是毫无根据的夸大其词，没有逻辑演算可以保证做到这一点。接下来的两句话同样是毫无根据的夸大其词。在承认公理的前提下，什么叫做“真”？什么叫做“自动为真”？什么叫做“必然自动为真”？作者肯定没有模型论知识。至于作者所说的“推演过程”是否真正能够“由机械完成”，也是既要看作者所言“推演过程”是指什么，还要看作者所言“机械完成”是个可计算性问题还是个计算复杂性问题来判别是否有实际意义。希尔伯特学派的形式主义证明论方法，远非作者所谓“用公理化方法来统一整个数学”那么简单！哥德尔不完全性定理当然也没有像作者所说“否定了这一宏伟蓝图”。哥氏定理是关于一大类形式系统（PM及相关系统）而根本不是关于作者所谓“任意一个包含初等数论的公理系统”的，所以当然也与作者所言之“证明”根本无关。作者之“这意味着”后面的解说，基本上失真并且歧义。对欧式几何公理体系说“完备”是毫无意义的，显示了作者不懂完全（完备）性概念。

值得一提的是，此文对吴文俊先生的几何定理自动证明方法的解说，也有失真之处，但是与本博文目的不太相关，这里就不多说了。

如同笔者在本文前面就曾经讲过的，这样的实例向我们显示了，即便是专业数学家，只要不是真正经过数理逻辑训练的或者认真学习过数学基础论的，仍然会对哥德尔不完全性定理做出很离谱的错误解释。由此可以想见，众多的非数学专业出身的“哥氏定理爱好者”，如果同样是没有真正经过数理逻辑训练或者认真学习过数学基础论的，对哥氏定理的随意解释将会怎样了。

（2017年5月21日记）