同态滤波（Homomorphic filter）是信号与图像处理中的一种常用技术，它采用了一种线性滤波在不同域中的非线性映射。这一技术是上世纪60年代由麻省理工学院（MIT）的Thomas Stockham，Alan V. Oppenheim和 Ronald W. Schafer 等几位学者提出。

如果您对原理部分不感兴趣，可直接跳至双虚线以下的关键代码实现部分。

首先，介绍两个概念。

同态系统：是将非线性问题，转化为线性问题处理。即对非线性（乘性）混杂信号，通过某种数学运算（如对数变换），变成加性模型，而后采用线性滤波方法进行处理。

同态滤波：是把频率滤波和空域灰度变换结合起来的一种图像处理方法，它根据图像的照度/反射率模型作为频域处理的基础，利用压缩亮度范围和增强对比度来改善图像的质量。

下面介绍关于同态滤波的基本原理。

一幅图像可看成由两部分组成，即

其中，f_i代表随空间位置不同的光强（Illumination）分量，其特点是缓慢变化，集中在图像的低频部分。f_r代表景物反射到人眼的反射（Reflectance）分量。其特点包含了景物各种信息，高频成分丰富。

同态滤波过程，分为以下5个基本步骤：

① 原图做对数变换，得到如下两个加性分量，即

② 对数图像做傅里叶变换，得到其对应的频域表示为：

③ 设计一个频域滤波器H(u,v)，进行对数图像的频域滤波。

④ 傅里叶反变换，返回空域对数图像。

⑤ 取指数，得空域滤波结果。

综上，同态滤波的基本步骤如图1所示。

图1 同态滤波的基本步骤

可以看出，同态滤波的关键在于滤波器H的设计。对于一幅光照不均匀的图像，同态滤波可同时实现亮度调整和对比度提升，从而改善图像质量。为了压制低频的亮度分量，增强高频的反射分量，滤波器H应是一个高通滤波器，但又不能完全cut off 低频分量，仅作适当压制。

因此，同态滤波器一般采用如下形式，即

其中，g_L< 1, g_H >1，控制滤波器幅度的范围。H_hp通常为高通滤波器，如高斯（Gaussian）高通滤波器、巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器、Laplacian滤波器等。

如果H_hp采用Gaussian高通滤波器，则有：

其中，c为一个常数，控制滤波器的形态，即从低频到高频过渡段的陡度（斜率），其值越大，斜坡带越陡峭，见图2。

图2 同态滤波器幅频曲线

================================================================================

同态滤波的原理就这么简单，不过写代码实现起来，具体问题就来了。你不妨百度一下，网上一些论坛里，贴有大量可参考的代码，让您看了像雾像雨又像云，很可能会误导你。那么，只有吃透了原理，或自己动手测试一下，方能做出正确判断。

实现对一幅输入图像同态滤波的关键（MATLAB）代码如下：

① 输入图像取对数，一般取自然对数，即

                           f = log(1+I);                          % log transformation

这里图像I做对数变换前，需要转化为double型。针对灰度范围[0~255]的图像数据，log(I+1)是为了满足真数大于0，以防计算无意义。特别提醒，如果是归一化图像数据，则建议log(I+0.01)。

② 对f做FFT，此步涉及后续的频域滤波。因此，FFT前数据f一般需零填充至本身的2倍尺寸。

                           Fp = fft2(f,P,Q);                   % FFT with zeros padding

这里，P = 2M,  Q = 2N,  M, N为数据f的阵列大小。

③ 滤波器H设计，滤波器尺寸同样应为P、Q。

                          [v, u] = meshgrid(1:Q, 1:P);  % [y, x] = size(I)，y为行数，x为列数。与习惯顺序[x, y]有点反，易混淆！

                          u = u - floor(P/2);                  % u方向 centralization

                          v = v - floor(Q/2);                  % v方向 centralization

                          D = u.^2 + v.^2;                      % compute the distances

                          H = 1-exp(-c*(D./D0^2));    % gaussian high-pass filter

                          H = (rH - rL)*H + rL;           % homomorphic filter

这里，D0为gaussian滤波器的截止频域。因产生的为中心化滤波器，下一步滤波f的傅里叶变换也需要中心化处理；否则，H反中心化。

④ 频域滤波。

                           H   = ifftshift(H);          % H反中心化，因Fp未中心化！

                           Gp = Fp.*H;                   % filtering in frequency domain

⑤ 傅里叶反变换，返回空域的对数图像。

                           gp  = real(ifft2(Gp));    % IFFT取实部。网上有些代码直接取abs，计算误差会引起虚部不为零。No!  

                           g    = gp(1:M,1:N);        % 截取有效数据

⑥ 取指数，得空域滤波结果。

                           g = exp(g)-1;                % 先前取对数时，为log(1+I)。 有代码先在频域做exp(Gp)，再反变换。No!

⑦ 显示g时，适当做数据的映射处理，以适合人眼观察。

以下为利用以上原理和关键代码实现的两个场景下的同态滤波实验。H参数的设置为：D0=80,  rL =0.25,  rH=2.2, c=2.0。其幅频曲线如图3所示。

图3 设置参数下的同态滤波器幅频图

图4 同态滤波结果，PET扫描图（上），隧洞口场景（下）

注：以上代码实现中，未考虑边界问题。关于边界处理问题，请参考前述博文：如何保持空域与频域滤波结果的一致性（续）。

读者如需完整代码，可直接联系本人。

推荐参考：

[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Homomorphic_filtering

[2]http://blogs.mathworks.com/steve/2013/06/25/homomorphic-filtering-part-1/

[3]http://blogs.mathworks.com/steve/2013/07/10/homomorphic-filtering-part-2/

[4]http://bbs.sjtu.edu.cn/bbstcon?board=DSP&reid=1316225259

扫一扫，可关注“老马迷图”微信公众号！

《教学后记》序列博文：

[1] 频域Laplacian图像锐化原理与实现

[2] 如何保持空域与频域滤波结果的一致性（续）

[3] 傅里叶变换的波形分辨率与频率分辨率

[4] 如何保持空域与频域滤波结果的一致性