一幅图像f的空域拉普拉斯（Laplacian）算子如下式(1)，即：

利用傅里叶变换的微分性质，可以推导出对应的频域Laplacian滤波器如下式(2)，即

其中，u = 0,1,2,…,M-1;  v = 0,1,2,…,N-1,为频率变量。M, N为输入图像f的尺寸。

对应的中心化滤波器如下式(3)：

其中，P, Q 为滤波器H的尺寸。一般取，P = 2M, Q = 2N。

要实现图像f的锐化，需对f做傅里叶变换，然后利用H进行频域Laplacian滤波，按以下式(4)反变换求得其空域Laplacian图，即

其中，F(u,v)为输入图像f(x,y)的傅里叶变换，符号Ξ^-1代表傅里叶反变换。

按以下式(5)，将傅里叶反变换得到的Laplacian图叠加于原始图像f，即

因▽²f(x,y)存在负值，故取c=-1，从而实现对原始图像f的锐化。由于Laplacian滤波结果存在黑、白两类轮廓细节，这样做主要是强化弱边缘，弱化了强边缘，使得锐化图像看起来比较自然，更适合于人眼观察。

Laplacian锐化的本质，即在原图像上叠加Laplacian滤波的高频（细节）成分，使得图像边缘轮廓更清晰。

尽管以上原理看似很简单， 所有教材上也都是这么表述的。但真正自己编写程序代码实现时，还是问题不少。主要表现在以下三个环节：

1）傅里叶反变换得到▽²f(x,y)的值的数量级要比f大几个数量级，因此，存在比例缩放（Scaling）问题。

2）叠加高频细节后的图g，改变了原始f的值域范围，并同样存在负值。如果对g简单使用归一化处理，将最小值映射为0，最大值映射为1，可能会改变整幅图像g的对比度，显示时看起来整个图将变暗（与输入图像f对比）。这并不是我们期望看到的结果。

3）频域滤波中会出现边界效应，导致图像的边界也会被锐化。

解决以上三个问题的对应办法是：

1）傅里叶变换前，对f先做归一化处理，使f的值的范围在[0,1]；把式(4)求得的Laplacian结果除它（或绝对值）的最大值max(▽²f(x,y))，使得其值控制在[-1,1]范围。这样，二者才具有数值上的可比性。

2）因f和▽²f(x,y)的叠加结果还可能超过[0,1]范围，强制类型转换或归一化到[0,1]，会使锐化结果整体变亮或变暗。有效的措施，就是利用原始图像f的实际灰度值范围[min(f)  max(f)]对锐化结果g进行标定（Scaling），再次调整其灰度范围，使它保持与f基本一致。

3）关于边界的处理问题，请参考前述博文（见：如何保持空域与频域滤波结果的一致性）。只不过直接从频域定义H,无法对应空域h的尺寸，一般对f进行边界的扩充时，适当增加重复边界数，可以得到比较理想的处理结果。因为重复（'replicate'）边界像素，不会产生额外边缘。

以上为正确实现频域锐化的关键问题及相应的解决措施。对于空域Laplacian锐化，尽管用于叠加的高频成分与原始图像灰度的量级相差要小一些，但要得到好的锐化效果，同样也存在以上问题。

以下是对输入的模糊moon图像分别进行Laplacian空域（图1）和频域（图2）锐化的结果。可以看出，空间域和频率域的锐化结果基本一致。若频域滤波器H由空域模板h计算产生，则锐化结果的一致性会更好。

图1 空域Laplacian滤波及锐化结果

图2 频域Laplacian滤波及锐化结果

根据以上原理实现图像锐化的MATLAB代码，请下载：myimlapsharp.rar

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相关博文：如何保持空域与频域滤波结果的一致性（续）