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1、引言
太阳是圆的,这是普通命题;太阳必然是圆的,太阳可能是圆的,这是模态命题。下雨地就湿了,这是普通命题;我知道下雨地会湿,这是模态命题。模态命题是包含模态词的命题,必然、可能、知道、相信、将来、过去等都是模态词。
模态逻辑是研究模态推理的学科。从太阳必然是圆的,推出太阳是圆的。从我知道下雨地会湿和我知道下雨了,推出我知道地湿了。这些都是模态推理。模态逻辑研究的一个重要目标:用系统的方法找出有效的推理,即那些前提真则结论真的推理,并且所有有效推理都能用这种方法找到。
2、模态逻辑系统
模态联结词
模态命题逻辑是经典命题逻辑的扩充。和经典命题逻辑相比,它多了模态联结词□和◇,对这些联结词可以有不同的理解,比如必然、可能等。其中◇可以用□定义:
◇p = df﹁□﹁p
当p是命题时,□p和◇p都是命题。这里的p可以是任意命题,包括模态命题。比如□◇p和p→◇(□p→q)都是命题。
命题逻辑系统
模态逻辑在命题逻辑的基础上补充了一些模态公理和推理规则。有多种模态逻辑,它们的模态公理和推理规则不同,但都包括了命题逻辑的公理和推理规则。
命题逻辑包括这三个公理和推理规则:
公理
(1) A→(B→A)
(2) (A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
(3) (﹁A→﹁B)→( B→A)
分离规则(MP):A, A→B / B
模态公理和推理规则
模态公理有很多,下面是最常见的。
(K公理)□(A→B )→(□A→□B)
(D公理)□A→◇A
(T公理)□A→A
(B公理)A→□◇A
(4公理)□A→□□A
(5公理)﹁□A→□﹁□A
最常用的模态推理规则是必然化规则。
必然化规则(RN):A / □A
(必然化规则是弱规则,只能用在定理上)
模态逻辑系统
在命题逻辑的基础上加上不同的模态公理和推理规则,就形成不同的模态逻辑系统:
系统K:K + RN
系统D:K + D + RN
系统T:K + T + RN
系统B:K + T + B + RN
系统S4:K + T + 4 + RN
系统S5:K + T + 4 + 5 + RN
包含K和RN的叫正规系统,所以上面全部都是正规系统。模态逻辑系统并不只有正规系统,不过这里只讨论这些。
推理
通过公理和推理规则得到的都是定理。记作⊢A,表示A是定理。如果除了公理和推理规则外,还使用了前提Γ的子集(Γ是命题集,可以是空集),则记作Γ⊢A,表示从Γ推出A。注意,在推理时,必然化规则只能用在定理上。因为如果它能用于任意命题,则对任意的命题A我们都有□A,这是不合理的。
3、可能世界语义
有些命题的真假,不能只看当前的情况,还看将来的情况,或者假想的其他情况。比如将来会下雨,它是真是假,就不是看现在的情况。
世界在某一刻的所有情况,称之为可能世界。可能世界之间有的存在着关系R,有的没有。下面举一个具体的例子说明是什么意思。
上面这张图有3个可能世界,分别是1、2、3。有箭头从可能世界1指向可能世界2,表示2在1的未来。没有箭头从2指向1,表示1不在2的将来。用命题p表示下雨。在可能世界1中p为假,2、3中p为真。在可能世界2中,未来会下雨是真的,未来不会下雨是假的。考虑这些命题在2的真假时,不需要考虑1的情况,因为1不是2的未来。
下面严格定义可能世界语义。
框架:F = <W, R>,W是非空集合,R是W上的二元关系。W也称之为可能世界集,R也称之为通达关系。
模型:F = <W, R, V>,V是赋值函数。V(a,b)=1或0。它表示命题b在可能世界a中的真值为1或0。
复合命题的真值由简单命题和其他可能世界的命题真值决定。不带模态词的复合命题的赋值规则和经典命题逻辑相同。这里要说明的是□A和◇A的赋值规则。
V(x, □A)=1,当且仅当,对任意的y,如果Rxy则V(y, A)=1
V(x, ◇A)=1,当且仅当,存在一个y,如果Rxy则V(y, A)=1
例子。我们把下面这个模型称之为M。
M, 1 ⊨﹁p;M, 1 ⊨□p;M, 1 ⊨□□p;
M, 2 ⊨□p;M, 2 ⊨◇p;M, 2 ⊨﹁□◇p
M, 3 ⊨□p;M, 3 ⊨﹁◇p;M, 3 ⊨﹁◇﹁p
语义后承
下面是定义。
A在模型M中可满足,当且仅当,M中存在w,V(w, A)=1
A在框架F中可满足,当且仅当,A在框架为F的某个模型M中可满足
M⊨A,即A在模型M中有效,当且仅当,M中的任意w,V(w, A)=1。
F⊨A,即A在框架F中有效,当且仅当,A在属于框架F的所有模型中有效。
⊨A,A在任何模型中都有效
Γ⊨A,当且仅当,对任意模型M和可能世界w,如果M, w ⊨Γ则M, w ⊨A。有时在⊨加下标,对模型进行限制。
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