摄影测量与计算机视觉

（7）几何变换的层次 下

1.  坐标系

一个物理学家，关注方程两边的量纲是否一致；一个化学家，注重等式两边是否配平；而一个几何方向的测量学家，首先要明确方程两边是否在统一坐标系下。

笛卡尔坐标系的发明，是数学史上的伟大事件。若笛卡尔的“我思故我在”消失于茫茫的哲思之海，发明坐标系的功绩也将使他英名永驻。传说笛卡尔当时正在当兵，每日在军营无所事事，幸好有个相熟的军人懂很多数学，两人相谈甚欢，笛卡尔从中受益匪浅。一日夜晚，他躺在营帐前的草地上，仰望璀璨星海。“怎么确定每颗星星的位置呢？”笛卡尔沉思良久，豁然开朗：如果用两根垂直线，就像十字架一样，悬挂天空，那么每颗星在十字架中的位置，不就确定了吗？这个瞬间idea产生的草图，最终引导笛卡尔建立坐标系。至此，几何和代数，两匹独立奔驰的骏马，将被坐标系这个强大的轭紧紧地拴在一起，诞生了解析几何；其活力进一步创造出大量的数学分支和细流。

现代数学中，笛卡尔直角坐标系由一系列相互正交的基向量表达。如三维坐标系可表达为：e₁ = (1,0,0), e₂ =(0,1,0), e₃ = (0,0,1)，那么其中的任意一个点：x = ae₁+ be₂ + ce₃。a, b, c即该点在对应基向量上的标量投影。

摄影测量和计算机视觉中，一般只涉及二维和三维的直角坐标。而每个坐标系的建立，正如笛卡尔仰望星空：为了更加简单地描述点（星星）的位置罢了。

首先，既然图像是我们的主要观测，那么如何描述一个点（像素）在一张图像上的位置？无须从教科书中寻找干涩的定义，我们一切从头开始。很自然地，先命名一个“图像坐标系”。这个坐标系将有两个垂直的轴，分别指定为X、Y轴，其交点称为原点。根据基向量的表达形式，无论左手系、还是右手系，只要相互垂直，同样满足坐标系的定义。没关系，就分别作两个坐标系吧！图1表达了一个以左上角为原点的左手系；一个以图像中心为原点的右手系。此外，你还可以建立许许多多的坐标系，只要你愿意。当然，图1中的两个，是最方便也最常用的。

图1 x-y为右手系；x'-y'为左手系

无论如何，图像坐标系只有两个分量；而我们生活在具有三个分量的空间。正如开篇所言：要将坐标系统一起来，才能建立几何方程。故，需要将这个2D图像坐标先转换为3D坐标。为此，我们将建立第二个坐标系。最直接的方法，就是在X-Y坐标系上加上一维，按照左手系或右手系确定第三个正交分量，指定为Z轴。这样一个坐标系有着不同的名称。在摄影测量中称为“像空间坐标系”，在计算机视觉中称为“相机坐标系”。在实际应用中，往往采用右手系，并将原点移动到镜头焦点O，此时，Z轴与光轴重合。

图2 O为相机中心，O-xyz即相机坐标系，f为焦距，可见像点的z坐标永远为f。

第三个坐标系用来表达世界点的位置，称为世界坐标系。地球人自然以地球为基准。常用的坐标系包括GPS采用的WGS84、我国当前采用的国家2000大地坐标系。这是一种“地心直角坐标系”，以地球质心为原点，Z轴指向地球北极，X轴指向格林尼治子午面与地球赤道面的交点，再照右手系确定Y轴。这个“巨大”的坐标系，并不总是那么实用。如果我们只是在房间这样一个小世界，定位桌子和椅子的位置。就可以选择局部坐标系。可以选择某个墙角为原点，三根辐射线分别为X-Y-Z轴，如图3。

图3 以墙角建一个局部坐标系

总之，一切坐标系，以方便“几何方程的表达”为准。例如，如果相机装在飞机上、卫星上、汽车上，可以为这些摄影平台建立一个“平台坐标系”，表达相机到平台的几何关系。再如，可选择地球上的任意一点为原点，建立局部切平面坐标系。

图像上的一个点，与真实世界点，都已经用坐标系表达；那么，接下来的问题是：他们之间满足怎样的几何变换？这就需要从几何变换的层次出发。

2.  几何变换的层次

（本节公式较多，但又是几何部分的核心，也不便忽略，还请见谅。非专业的读者朋友只需要看公式11就行了：您拍了一幅照片，照片和真实世界中的您，其一一对应的几何关系就由11表达——3×3的参数K表达相机自身，3×4的参数[R|T]表达您在摄影时的pose）

先考虑同维度的几何变换。即2D与2D之间、3D与3D之间的几何变换。最简单的平面几何变换当属平移，用T表示。若加上旋转R，将构成刚体变换（或称为欧几里得变换），两个坐标系之间的变换，通常就是刚体变换；再考虑缩放λ，称为相似变换，即：

x₂= λ[R|T] x₁                                                                                                                 1

这里[|]表示增广矩阵，即将两个行数相同的矩阵并列构成新矩阵。这里采用齐次式才可写成1这样的简洁形式。若采用普通坐标，则写作x₂= λR x₁+T。注意，在定义上，普通坐标下的相似变换并不属于“线性变换”，因此不具备线性变换的性质。1写成标量形式为：

                                                                     2

式1表达了先旋转、再平移。有时候，也可写成x₂= λR(x₁ - C)，即先平移再旋转。两者间旋转矩阵不变，平移量存在关系：T = -RC。

相似变换共有4个参数。如果继续放宽条件，但使得平行线依旧平行，称为仿射变换。仿射变换在相似变换基础上加入了2个新的参数：

                                                       3

最后，考虑最普遍的情况，令变换矩阵为3×3的任意非奇异矩阵，这时候称之为射影变换、保线变换或单应（homography），即除了直线依然保持直线外，以上性质不再成立。其变换矩阵通常用H表示，共有9个参数；但在没有更多的信息输入时，尺度是不可知的。因此可将h₃₃设置为1，故H中有8个未知量。我们的研究对象之一就是这种平面间的变换。如对一平面摄影，物像之间需满足射影变换；同时用2台相机对同一世界平面摄影，两张图像也必须满足射影变换，即射影变换具有复合性。

                                                      4

很容易推广到3D的情形。此时，平移将有3个参数，相似变换7个参数，仿射变换12个参数，而最一般的3D射影变换有15个参数。

第二步，回到我们最关心的，世界点到像片的变换，即3D到2D的变换。这类降维变换，更贴切的称谓是“投影”。

最简单的投影称为“正射投影”。设X表示3D坐标，x为平面坐标，正射投影表达为：

x = [λI|0]X                                                                             5

其中I为2×2的单位矩阵，而λ建立两套坐标系之间的比例关系。

图4 正射投影

第二类常用的投影称为仿射投影。仿射投影是一种特殊的透视投影，由两步构成：物体首先平行地（可平行于物体中心与相机中心的连线）投影到与影像面平行的参考平面上；然后，再按照普通透视投影的方式将参考面投影至影像平面。两种投影联合构成了仿射投影：

                                                             6

最后，被称为透视投影或中心投影的几何变换，是物体到相机最普遍的成像模型。在同一坐标系下，中心投影的公式可简单表达为：

                                                                7

图5 透视投影（中心投影）

图像坐标一般采用原点位于左上角的左手系，物体坐标则是右手世界系，此外还可能涉及一系列中间坐标系。因此，通常物、像两者都需要经过一定的转换，使得两套观测值位于同一套坐标系下，然后再建立几何方程。这个规则同样适用于正射投影和仿射投影。首先，将图像坐标系转换为相机坐标系，并将作用于像点坐标x的几何变换参数称作为内方位元素，用矩阵K表示：

x = Kx_c                                                                                      8

这里的x_c指相机坐标，而x是我们实际量测的像素坐标。矩阵K的参数反映在9中，共包含5个参数。s代表两个本应垂直的x-y坐标轴存在剪形畸变，通常可取s = 0。若再假设焦距f_x = f_y = f，这时相机参数简化为最常见的3个：坐标原点(x₀, y₀)和焦距f（即图2所示）。

                                                                     9

与此类似，X也需从所在的世界坐标系转换到相机坐标系下。两个三维空间坐标系之间的转换，就是前面已经介绍的三维刚体变换：

X_c= [R|T]X_w                                                                             10

其中X_c、X_w分别表示物体的相机坐标和世界坐标，而R和T统称为为外方位元素。现在，X_c与x_c已经位于在同一坐标系中，但他们相差一个比例因子λ，联合8和10，得到：

x = λK[R|T]X_w = λX^~                                                                  11

为消除未知比例λ，用方程组的前两行分别比上第三行：

                                                                    12

进一步地，若相机检校已经事先完成，并只考虑三个参数x₀、y₀、f；此时令X^-= [R|T]X_w，代入11得到：

                                                   13

式11-13，称作共线条件方程，是整个摄影测量和视觉几何的基础。现在考虑相机参数未知的情形。根据11，将相机内、外方位元素写在一起：

P = K[R|T]                                                                              14

P称为相机矩阵（camera matrix），如果忽略比例因子，P矩阵精确表达了中心投影下物像间的几何关系；换句话说，中心投影的几何关系由相机矩阵决定。

只要理解了坐标系之间由刚体变换[R|T]决定，来再多的中间过渡坐标系也不用担心了。例如，像片是从飞机平台上拍摄的，并且世界点在大地坐标系中量测得到，那么，他们之间的关系是：

                               15

其中[R_g^b|T_g^b]、[R_b^c|T_b^c]分别是大地坐标系到平台坐标系、平台坐标系到相机坐标系的刚体变换参数。

3.  地图投影

关于透视几何的简单介绍，计算机视觉往往就在上一节结束了；但更关注宏观物体的测绘学家的麻烦才刚刚开始。无论如何，他要给公众提供各个尺度的平面地图，从全球尺度，直到一州一县。我们自然希望，在地图上所作的任何度量，能够严格保持世界的真实距离、角度、面积等属性，使得，在地图上所做的任何量测，都等价于在真实世界中的量测。事实上，在欧式空间中，等距映射（isometry）对应全等变换，已经蕴含了等角和等积在内。那么，是否有某种地图投影保证等距映射呢？

我们生活在一个不规则的近似椭球面上。远至高斯的时代，甚至更早，就已经发现，球面无法等距展开至平面，椭球当然更是如此。将一爿西瓜片拍平而保持它不破裂是不可能的。严格的证明可能要从高斯的“绝妙定理”开始。这是一个深刻的证明，虽然高斯曲率的定义需靠曲面到空间的嵌入，而最终结果却不依赖于嵌入的形式；高斯曲率可以从曲面上的长度和角度的测量完全决定。举个例子，圆柱表面和一个平面显然是3D欧式空间的不同嵌入；在圆柱上画一个三角形，将圆柱竖着裁开，就能摊成一个平面，而三角形的边长、角、面积都不发生改变；即圆柱面与平面存在等距映射。不幸的是，绝妙定理的一个推论证明：球面与平面不具备局部等距变换，地球在地图上展示时不可能无扭曲。

怎么办？既然等距变换不可行，只有退而求其次，尝试等角投影或者等积投影，并尽可能使得局部区域或 种统计意义下的形变最小。为此，高斯在1820年创立了一种现称为“高斯-克吕格”的投影（1912年由克吕格完善），将球面或椭球面投影至地图平面。这是一种保角映射。想象用一张巨大的纸卷成圆筒，将地球横着包起来，使得球面与圆柱相切于纬线；以纬线为Y轴，以赤道在圆筒上投影为X轴，按照等角投影将球上的点一一映射到圆柱上；最后再把圆柱展开为平面。为减少变形，每次只投影切线附近的局部区域到圆柱上，需要120个（若按3°带分）或60个（按6°带分）这样的圆柱。

图6 高斯-克吕格投影，分带从格林尼治开始。

另外一种常用的投影称为墨卡托投影，早在1569年，墨卡托发布了该投影下的世界地图。这是一种纵轴切圆柱等角投影。两种投影差异最大的地方在极点。墨卡托投影在极点有无穷大的面积形变。虽然高斯-克吕格投影较好地解决了极点面积形变的问题，但是，高斯投影带之间是相互分离的。这样看地图也很麻烦。

此外，还有一种通用横轴割圆柱墨卡托投影（Universal Transverse Mercator Projection，UTM）。与高斯-克吕格投影的区别在于“割”，割于北纬84度，南纬80度。而高斯-克吕格投影圆柱切于两极。

图7 纵轴切圆柱墨卡托投影

无论是横切（割）还是竖切，两种投影方式对于极点来说都不理想。球极平面投影是一种较好的针对极点的投影方式。说到极平面投影，那可要顺着时间轴一直向前回溯到喜帕恰斯（约公元前150年）和托勒密的年代（约公元100年）。那时他们已经认识到地球是个球体；而在东方，还要再等待漫长的2000年。他们两个或其中之一发明了这种投影。取一平面切于南极，从北极引射线，将球面上任意一点P（北极点除外）投影至切平面。此时，南极附近的区域，形变就很小了。同理，将切平面和投影点互换，则能得到较好的北极地区的平面投影。

图8 球极平面投影

以上讨论了常用的地图投影。事实上，投影的概念可不仅限于将球面（椭球面）展开至平面，任何三维物体的表面都可按照一定的规则展开至平面，这也是三维重建、三维动画和游戏、虚拟现实中的关键技巧。但万变不离宗，不规则物体的投影同样无法奢望等距投影；等角投影或者等积投影则是有效的约束。其中，等角投影也称为共形映射，研究共形映射的数学叫做共形几何，目前正受到广泛的研究和应用。从规则球面到任意不规则形体，这是古老的测绘技术在现代数学和计算机技术下的升华。