在最初研究材料的屈服行为时，简单的单轴拉伸压缩实验占有很重要的地位，即便是今天实现复杂应力的加载依然存有问题，那么如何衡量在复杂应力状态下的材料屈服行为就需要进行一些数学上的推导或者简化。

 在研究塑性问题时，有两个非常重要的理论，第三强度理论（Tresca屈服条件）和第四强度理论（Mises屈服条件），虽然在应用上，第三强度理论较为方便，但是第四强度理论较第三强度理论有更为精确的结果。下面简要说明由第四强度写出的等效应力。

$\upsilon _{d}=\frac{1+\mu }{6E}[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}]]$ ， $\omega _{\phi }^{e}=\frac{1}{2G}J_{2}^{'}$

将单轴拉伸下的参数带入：

$\sigma _{1}=\sigma _{s},\sigma _{2}=\sigma _{3}=0$ ,

得到

$\upsilon _{ds}=\frac{1+\mu }{3E}\sigma _{s}^{2}$ ， $\sigma_{s}^{2}\frac{1}{6G}=\frac{1}{2G}J_{2}^{'}$

对比 $\upsilon _{d}$ 与 $\upsilon _{ds}$ ,可以得到

$\sigma _{s}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}$ ，

因此，等效应力通过第二应力偏量，可以写成如下的形式：

$\sigma _{s}=\sqrt{3J_{2}^{'}}$ 。

参考书籍： 材料力学（一)，单辉祖，高等教育出版社

      塑性力学基础，王仁 熊祝华 黄文斌，科学出版社