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对于矢量A和B,其点积为标量C。逻辑上,由于除法的基本要求是:A,B,C均为矢量,从而,C/A没有意义,得不到B矢量。也就是没有矢量除法。
对于矢量A和B,其叉积为矢量D。逻辑上,可以有:D/A=B,但是,只对叉积成立,没有一般性。不能作为矢量除法的逻辑基础。
引入复矢量F=C+imD,规定:AB=A*B+AxB,则有:
A=(CB-DB)/B2=(FB)/B2。逻辑上,B2为标量。前一项,C/B2为标量,从而,(CB)/B2为与B同类的矢量(差一个常数因子);后一项,(DB)/B2在叉积意义下为零,得不到A矢量,从而没有矢量除法。
逻辑上,点积和叉积意义下的矢量乘法并不能间接的导出除法运算,从而不容许除法运算,在数学逻辑上是个缺陷。
现代几何代数理论,规定:(AB)B=AB2,从而有:A=(FB)/B2=(ABB)/B2。从而,间接的用乘法导出了除法运算。A=F(B/B2)。从而,现代微分几何理论在逻辑上,容许矢量除法(由矢量乘法实现)。
陈省身的研究实质上想建立这种运算。但是,在点积和叉积的直和分解意义上,并不能建立这个一般关系,引入复矢量代数是个办法,但是由于无法推广到多次的连乘运算(在2维空间还行,但3维及以上就有问题了),从而,有待改进。
矢量除法的间接实现(借助于乘法)克服了逆矢量定义的缺陷(引入张量),从而解决了张量理论的联络计算问题。被看成是21世纪的主流理论。
科学研究的历史是,由于复矢量概念研究而导致人们重视和重新审视几何代数理论。复矢量研究是一个有价值的中间环节。
如果求全责备而没有复矢量研究的话,可能几何代数理论也就不会进入基础理论。
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