杨立坚
数学中约定成俗的乱用符号 (abuse of notations)
2022-6-5 12:40
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例一

数学专业大三就学实变函数了,也就知道了L2[0,1]空间, 即[0,1]区间上平方可积函数等价类的希尔伯特空间。相应的内积定义为:

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其中的{f}表示与某平方可积函数f之差几乎处处为0的所有可测函数组成的集合,是一个等价类。上式中的积分是Lebesgue积分,所以积分的函数值在零测度集上改变也不改变积分值。此内积是函数等价类之间的运算,而不是个别函数之间的。

但是通常使用L2[0,1]这个记号时,往往把一个等价类{f}当成这个等价类中某个好看的函数了,如f(x)=sin(x)等,而不考虑与之等价但是很难看的f(x)=sin(x)+I(x=0.4)。这就是一个典型的乱用符号(abuse of notations)的例子,是所有数学工作者都约定成俗的做法。类似的例子包括微分算子理论中,广义导数平方可积的函数组成的索伯列夫空间(Sobolev Space),p阶可积函数的空间Lp[0,1]等

例二

非参数回归方法是统计学的重要理论工具。如果随机变量Y对随机变量X的条件期望E(Y|X)=m(X),而m(x)是光滑函数,则可以通过核、样条等各种方法估计m(x)。这里的关键假设是m(x)的光滑性,但是按照条件期望的定义,m(x)不是唯一的,只是几乎必然唯一,又是一个函数等价类。所以真正的假设,是在这个等价类中存在一个光滑函数m(x),再对这个光滑的m(x)估计。另一个例子是概率密度函数,也是个等价类,如果其中有一个光滑的,就可以用非参方法估计。其它还有条件分位数函数,条件密度函数等。

对数学界这些约定成俗的做法,能够舒适、自信、正确地使用,是一个数学工作者成熟的标志。


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