N次量子化的故事

约翰·贝兹 撰

2016年3月14日

左  芬   译

这个故事最后导向一个谜题。我在写的时候得到了托比·巴特尔斯的一些帮助。

第0章： 零次量子化

最开始只有空集。但既然我们在做量子理论，我们在空集上作用函子

F: Set → Hilb，

它会吃下任意集合，并吐出一个以该集合为一组正交基的希尔伯特空间。这一函子将我们带出集合论的世界，并带入量子论的世界……

【此处插入幽灵的声音】

……于是我们现在有了一个希尔伯特空间：零维希尔伯特空间。我们把这一希尔伯特空间简称为“0”好了。这一希尔伯特空间中唯一的矢量就是零矢量。这是完全没有态存在的系统的希尔伯特空间。空集形成了态的基。

到目前为止，生活是乏味的。不过现在乐子来了……

第1章： 一次量子化

正如爱德华·纳尔逊所说，“一次量子化是一个谜，而二次量子化是一个函子”。

这个故事并非一个谜，而是一个创世神话！那么让我们作用二次量子化函子

K: Hilb → Hilb

到我们的希尔伯特空间0上，看会发生什么。这一函子吃下任意希尔伯特空间H，并吐出被称为H的“福克空间”的一个新希尔伯特空间 K(H)。如果H的态具有如下形式的一组正交基

其中i在某个集合S中取值，那么根据定义K(H)的态具有如下形式的一组正交基

其中n是任意自然数，而的顺序是无关紧要的。

如果我们将此函子作用到0，我们得到K(0)=ℂ，复数。这是没有自由度的系统的希尔伯特空间，因此仅有一个态（模掉相因子）。迈克尔·韦斯将这一系统称为一个“无子”，因为它是光子的一个很好的弱化版，适合来学习量子场论。不过，我们也可以称它为一个“量子”，其原因很快就会明朗了。

K(0)的态的基仅由

构成，也就是“空右矢”——仅由空集形成的右矢！我们也可以把空右矢简记为“1”，正如在集合论中我们用“1”来代表仅有的元素为空集的集合。

一个态比没有态好了一点，但生活仍然不是那么有趣。

第2章： 二次量子化

让我们作用函子K到希尔伯特空间 K(0)=ℂ。

K(K(0))=K(ℂ)是由任意有限组不可区分的量子构成的希尔伯特空间。这些态的一组基如下：

以此类推，其中第n个态中包含n个量子。如果这看起来有些诡异，可以利用空右矢的缩写1；于是这些态看起来像这样：

以此类推。如果这还是显得很怪异，用‘n’来代替由n个量子构成的态；那么这些态长成这样：

以此类推，对每个自然数有一个态。现在应该很明显了，我们在处理量子简谐振子的希尔伯特空间！态是所谓“数算符”的本征态，定义为

这一算符其实是dK(1_ℂ)，其中1_ℂ: ℂ→ℂ 是复数上的恒同算符。让我来解释！函子K将任意希尔伯特空间H上的幺正算符映射到K(H)上的幺正算符；事实上，它是一个李群同态。做微分，我们得到一个李代数同态dK，它将H上的自伴随算符映射到K(H)上的自伴随算符。（数学家这儿倾向于斜伴随算符，不过我们在这里是物理学家，所以我们扔进去一个i因子，从而代之以自伴随算符！）

算符N也被称为‘简谐振子哈密顿量’。所以，一些有趣的物理开始呈现了！

第3章： 三次量子化

这儿一个基本的经验规则就是：如果某样东西很好玩，那就不断地去尝试。

K(K(K(0)))=K(K(ℂ))是一根弦的右行模构成的希尔伯特空间！这些态的一组基由自然数的有限多重集给出，比如

其中，如同‘多重集’的通常定义，顺序是无关紧要的，并且一个数字可以多次出现。事实上这正是整个故事如何运作的：每一章的希尔伯特空间的基矢量由前一章的基矢量的有限多重集构成。

看，这儿是K(K(K(0)))的一个正交基矢的例子：

这其实是

的简写。而这，更进一步地，其实又是

的简写。我们可以把这看成是柱面时空上的一个无质量标量场论中的态，其中一个粒子带动量3，一个带动量1，还有一个带动量2。更进一步，这一理论的哈密顿量是K(N)，而N就是前一章中的数算符。

是的，这是真的！如果我们取K(K(0))上简谐振子的哈密顿量N=dK(1)并且对它二次量子化，我们得到K(K(K(0)))上的一个哈密顿量dK(N)，而这正好是柱面时空上无质量标量场论的通常哈密顿量！唯一怪异的部分是我们得到的态只包含具有非负动量的粒子。但这并不太坏：物理学家有时就研究这个。用物理学行话来说，我们得到了一个只带有“右行”粒子的场论。我们必须将K(K(K(0)))与它自身的一个副本做张量积，来同样得到左行粒子。

现在，柱面时空上的一个无质量标量场论基本上跟协变规范下一维时空中的一根弦是一样的，只不过这里我们只考虑右行模。（或者，如果我们采用光锥规范，我猜我们能把这一系统另想为（2+1）-维时空中的一根弦！）

于是，从完全没有态的系统出发并重复地作用二次量子化函子，我们触及了弦论。如果就此罢手就太离谱了……

第4章： 四次量子化

K(K(K(K(0))))是……好吧，这就是谜题所在。一个简单的答案是二次量子化弦的希尔伯特空间，比如说，由任意组不可区分的弦构成的希尔伯特空间。这其实已经相当好了。但你应该试着去找出一个更好的答案……

附录

对于我的谜题，托比尝试了这一答案：

“2-膜的希尔伯特空间？”

这听起来有点意思。不过如你所见，哪怕是在第3章我就对维度有一点困惑了。我希望我搞对了，但有两种选项，而我并不知道哪种解释最好。一个简谐振子是1+1-维时空中的一个粒子……那么也许第3章应该是2+1-维时空中的一根弦。接下去……

不管怎样，我敦促每个人去弄清楚是不是真的存在一种很酷的模式。在我脑子里有一种不同的，也不那么激动人心的答案——但应该还会有一些更令人振奋的东西。就我个人而言我看不出跟2-膜的关联，但这并不意味着它根本不存在！

一种不同的想法，并不正好是我的谜题的答案，如下：

• 米尔·法依萨，四次量子化。

他用三次量子化来描述宇宙的产生和湮灭，再用四次量子化来描述多重宇宙的产生和湮灭。

关于二次量子化的更多信息，尝试：

• (Baez, Segal, & Zhou, 1992)代数与构建性量子场论引论。

如果你喜欢这些与从空集构建所有集合之间的类比，你可以试着阅读戴维·芬克尔斯坦关于“量子集合论”（这基本上就是我们在这里所做的）的工作。一个很好的出发点是他的书：

• (Finkelstein, 1996) 量子相对论。

这是离奇的而又极度写意的——他会说一些听起来完全是胡说的东西，但接着，当你弄清楚他用意何在，这些往往是对的！他既考虑“玻色型”量子集合，正如我们在此所做的，也考虑“费米型”的。这让我回想起了关于负势集合的一些有趣的东西……不过说到这，你得先读这个：

   • (Loeb, 1992) 具有负数个元素的集合。

Bibliography

Baez, J., Segal, I., & Zhou, Z.   (1992). Introduction to Algebraic and Constructive Quantum Field Theory.   Princeton: Princeton U. Press.

Finkelstein, D. (1996). Quantum   Relativity. Berlin: Springer.

Loeb, D. (1992). Sets with a negative   number of elements. Adv. Math.91, 64-74.