把线性空间分解成为对其运算封闭的子空间，了解子空间的直和，正交子空间，以及由算子生成的零空间和像空间，这对分析算子，简化计算以及了解结构都是一把犀利的解剖刀。

5.1 子空间

线性空间是对线性运算封闭的集合。线性空间中的一个子集，如果也对线性运算封闭，即它里面任何几个向量经过线性组合后仍在这子集中，则称为线性子空间，在没有歧义的情况简称为子空间。很明显，线性空间本身以及单个零向量都是平凡的子空间。一切子空间都包含着零向量。不要把子空间想象成空间中一个有边缘的几何体，子空间中任何向量的数乘，即任意的延伸都在这子空间里。高于一维的线性空间有无数不同的子空间。在三维空间中，一维的子空间是过原点的一条直线，二维子空间是过原点的一个平面，你以此来推想高维的子空间。

一组向量的线性组合构成了一个子空间，称为这组向量张成的子空间。这子空间的维数，等于这组向量中线性无关向量的个数。一组线性无关的向量，意味着其中任何一个向量都不能在其它几个张成的子空间里，这就像平行六面体的三条棱边不在任何两边确定的平面里。

子空间的交集仍是一个子空间，它们的并集一般则不是，但可用里面向量的线性组合扩充成一个子空间。任取一组向量，它们所有线性组合的集合是个子空间，称为这组向量张成的线性子空间。显然任何一个向量都可以张成一维子空间，k个线性无关的向量张成k维子空间，线性空间中的基张成了整个线性空间。

线性空间中的几个子空间，如果它们相互间除了零向量外没有交集，它们张成的空间，称为这些子空间的直和。直和空间中的向量，都可以用这几个子空间中各有一个向量之和组成，这种分解是唯一的。直和空间里向量运算，等于它分别在子空间里的运算之和。

例如： $ a\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\; b\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}, \;\; \forall a,b \in \mathbb{R} $ 分别都是 $ \mathbb{R}^2 $ 的一维子空间， $ \mathbb{R}^2 $ 是它们的直和。

分别来自两个子空间中的向量，如果它们的内积都为零，则称这两个子空间是正交的。它们张成的空间是它们的直和。不是全空间或单个零向量的子空间称为真子空间。与真子空间正交的向量构成与它正交的子空间，它们的直和是全空间。

矩阵   $ A=\begin{pmatrix} 1&1&0 \\1&0 &1\end{pmatrix} $  的两个行向量张成 $ \mathbb{R}^3 $ 的二维子空间。方程 Ax=0 的所有的解   $ x= a\begin{pmatrix}1&-1&-1 \end{pmatrix}^T,a\in \mathbb{R} $ 构成 $ \mathbb{R}^3$ 的一维子空间。不难验证A的行向量张成的空间和这方程的解空间是正交的，它们的直和是 $ \mathbb{R}^3$ 。

假设线性空间X是子空间W和V的直和，因为向量对子空间直和的分解是唯一的， X中每个向量都对应着子空间W中的一个向量，这个映射称为X对W子空间的投影。空间X中的向量线性运算与它们在W子空间中的投影也保持这种对应，这个性质称为线性空间X与它的子空间W是同态的。同态是在两个代数结构中保持运算不变的映射，对子空间的投影映射是一个同态映射。以前介绍的“同构”，则要求这种映射还是一一满映射。同态映射定义了一种等价关系，它把等价的元素映成同一个像元素，而令其等价的称为同态映射的核。子空间V是X投影到W映射的核，它的投影是零向量，如果X中任何两个向量之差在V中，它们对投影映射则是等价的，投影到W中同一个向量。由此可以进一步学习泛代数的概念，定义在等价关系下的商空间，以及商空间与映射像同构关系的基本定理。

5.2算子的零空间和像空间

线性算子保持两个空间的线性运算不变，所以它是一个同态映射。线性算子 f : X → Y 它的核 Ker(f) 和像 Im(f)  定义如下：

Ker ( f ) = { x ∈ X | f( x )= 0 } ，Im ( f ) = { f ( x ) | x ∈X }  

Ker(f) 是 X 中被f映射为0的向量构成的子空间，也称为算子的零空间。X中两个向量之差如果在零空间中，它可以被线性算子看成是等价的，它们被映到Y中的同一个向量。

而Im(f) 是 X中所有向量被f映射到Y的像构成的子空间，也称为算子的值域。对这些子空间的维数有秩-零度定理:  dim ( Ker ( f ) ) + dim ( Im ( f ) ) = dim (X)，它是线性代数的一个基本定理。

维数 dim(Im(f)) 叫做线性算子f的秩，记为 rank f，dim(Ker(f))叫做线性算子f的零度，记为nullity f。满映射的线性算子称为是满秩的，满秩的线性算子的零度为0.

这个定理似乎很抽象，下面我们从矩阵和方程的角度来看它。

线性算子f将X中的向量x映成Y中的向量，如果存在着Y上的一个线性算子f*，它将Y中的向量y映成X中的向量，使得内积〈y, f(x)〉=〈f*(y), x〉，算子f*称为f的共轭算子。不难证明，在实数域算子的矩阵表示中，A的共轭算子是它的转置矩阵A^T（在复数域上是A的共轭转置矩阵A*，为直观起见，我们只介绍实数域的情况，读者自行修正复数域上表示。）

将线性算子f表示为矩阵A，A的列向量张成的子空间称为A的列空间，它是算子A的像空间。Ax=0解构成的子空间称为A的右零空间，它是算子A的零空间。

A的行向量张成的子空间称为A的行空间，它是共轭算子的列空间。共轭算子A^T的零空间称为A的左零空间。

齐次线性方程Ax=0的解构成A的零空间，这方程式说明矩阵的行向量与方程解列向量的内积为零。所以，矩阵的行空间与右零空间总是正交的，它们的直和是矩阵作为线性算子定义域的线性空间。将矩阵转置，对A^T也有相同的结论，即矩阵A的列空间与左零空间也总是正交的，它们的直和是矩阵作为线性算子值域所在的线性空间。矩阵把它的定义域空间X分解为正交的右零空间和行空间的直和，把值域空间分解为正交的左零空间和列空间的直和。试着用内积式子〈y, f(x)〉=〈f*(y), x〉= 0做出上述的解释。

通过矩阵的行和列的操作，可以证明：矩阵的行秩等于列秩。这是线性代数另一个基本定理。我们不再区分矩阵列空间和行空间的维数，统称为矩阵的秩，或算子的秩。

5.3线性算子的核与像空间的分解

联系着算子和共轭算子的子空间分解对理解它们的结构十分重要，这里从矩阵的角度来总结。

表示线性算子的矩阵A，它的核Ker(A)是所有映射成零的向量集合，构成了X中的一个子空间；它的像Im(A)是所有映射得到向量的集合，构成了Y中的一个子空间。算子或矩阵的秩k，是像空间的维数 dim(Im(A)) = k。秩-零度定理说： dim(Im(A))+dim(Ker(A)) = dim(X) = n. 这矩阵的转置A^T表示从Y到X，是与原来对偶的线性算子。同样依秩-零度定理有：dim(Im(A^T)) + dim(Ker(A^T)) = dim(Y) = m. 线性代数的另一个基本定理说：矩阵的行秩等于列秩，即dim(Im(A)) = dim(Im(A^T)) = k，算子与它的对偶算子有相同的秩，所以算子与它的对偶算子的零度分别是：dim(Ker(A)) = n-k， dim(Ker(A^T)) = m-k.

算子A将核空间Ker(A)中的向量映射为零向量，即矩阵中的行向量与它正交，而矩阵中的行向量张成转置矩阵的像空间Im(A^T)。所以线性空间X可以分解成正交的k维子空间Im(A^T)与n-k维子空间Ker(A)的直和，Y可以分解成正交的k维子空间Im(A)与m-k维子空间Ker(A^T)的直和。这意味着X的Im(A^T)子空间中，线性无关向量在A映射下的像也是线性无关的。对Y也有相应的结论。

    $ Im(A^T)\oplus Ker(A)=X Im(A)\oplus Ker(A^T)=Y $

5.4 线性空间和算子的不变量

线性空间的特征是维数，它是空间中线性无关向量的最大个数，无论空间中的元素是什么具体的数学实体，同一维数的线性空间都对线性运算同构，都可以用相同维数坐标的列向量来表示。

算子的秩是象空间的维数。n维到m维线性空间上的线性算子，在给定基的坐标下表示为一个m*n矩阵。算子的象空间对应着矩阵列向量所张成的线性子空间，所以矩阵的秩等于它列向量中最大线性无关的个数。

改变映射两边线性空间的基，表示线性算子的矩阵也随之改变。它们是同一个线性算子的不同表示，所以这些矩阵的秩都是一样的，秩是在基的变动中，矩阵表示保持不变的固有性质。

空间中不同基之间对应着一个线性变换满映射，将一组基映射成另一组基，它可以表示为一个满秩的方阵。反之，满秩的方阵对应着两组基坐标间的变换。相同秩的m*n矩阵，总是可以通过左右两边各乘以一个满秩的方阵变成一样。所以它们是同一个线性算子在不同基坐标下的矩阵表示。秩是m*n矩阵在坐标变换中的不变量，它们对应着同一个线性算子。

5.5 无穷维线性空间

可以找到任意多个线性无关向量的线性空间，称为无穷维线性空间，例如多项式空间，解析函数空间等等。我们知道所有解析函数都可以展开成泰勒级数，即等于无穷多个基向量的线性组合，是不是所有无穷维线性空间都能如此？

大致是如此，但无穷多个基不一定都是可数的，也可能是连续谱的，其线性组合不限于无穷级数形式的和，还可能是积分形式的和。无穷多项的线性组合的含义，涉及到收敛和完备性的概念，这依赖于空间中的拓扑结构。

代数只关心集合中元素运算的性质，而不涉及集合中元素的“相邻”和“远近”，这后者是拓扑关系，需在集合中另行定义。所以通常线性代数的课程只介绍有限维空间的向量和算子，这不需要了解空间拓扑的性质。但它的内容同样适用于无穷维的空间，只是涉及到向量“无穷和”时，需要收敛的概念。无穷维线性空间的内容多在泛函分析中介绍。

我们脑中对向量想象的图像，通常是三维的几何空间，这是在实数域上以向量的内积赋予长度的概念，从而有可以度量远近的欧几里德空间。抽象的线性空间未必如此，所以我们以直观的图像想象抽象世界时，必须清醒地认识这些不同，头脑中“看到”的结果必须从定义出发用严谨的逻辑推理来验证它。

在加法和数乘下封闭的一族函数集合是个线性空间，可以定义不同的“距离”，就有不同的收敛，例如点点收敛，一致收敛，几乎处处收敛等等。收敛性保证这无穷线性组合的分解有意义，完备性是说任何这类无穷线性组合的向量仍在这线性空间中。对此有兴趣可以看我“重修微积分”系列的博文。

在无穷维线性空间中应用最多的是用内积定义距离完备的线性空间，称为希尔伯特空间。函数表示为傅立叶级数，贝塞尔函数级数等特殊函数都是在线性空间基上的分解。因为微分算子是线性的，在物理中许多微分方程都可以看成一个线性系统，而线性系统可以用叠加原理，当方程的解可以表示为一个函数族基向量的线性组合，微分算子作用在这些函数上仍然是它们的线性组合，微分方程以此化为代数方程组。这是在计算机时代前，历史上为微分方程的解法，发展出物理图像解释的数学根据。

（待续）

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