王伟华
[转载]国外偏微分方程有哪些优秀的入门教材?
2021-4-15 16:09
阅读:3611

作者:dhchen
链接:https://www.zhihu.com/question/28492804/answer/454467813 

首先你得明确一点,偏微分方程没有真正意义上固定的「体系」,主要看你关心哪类方程,哪类方法而已。这点和泛函分析不太一样,它们基本大同小异,虽然各自有侧重点。

无疑,Evans的partial differential equations 是一个最大公约数,但是这也只限于你没有特定的选择方向这个前提下。如果你未来注定椭圆方程的古典估计(Holder估计)用得比较多(几何分析之类的)比较原理用的狠,那么显然这本书不是一个良好的选择,你应该选择Qing Han, Fanghua Lin的elliptic partial differential equations ,然后你可以看那个超级著名的教材 Elliptic partial differential equations of second order。 Stefan Muller 的nonlinear  partial differential equations 也是一个不错的选择。 如果你比较关注椭圆方程的边值问题,我建议你看Wloka的Partial Differential Equations,里面涉及到的一般非齐次椭圆系统的边值问题。

如果你主要关心的是抛物型方程和抛物型系统,那么我推荐你看Brezis的functional analysis,然后进一步看Pazy的Semigroup of linear operators and applications to Partial differential equations. 当然了,Freedman的partial differential equations of parabolic type也是你必须看的。

我觉得Evans的partial differential equations最适合的有志于做有限元之类、最优化等方向的学生。


作者:xyor wz
链接:https://www.zhihu.com/question/28492804/answer/1819579376 

有很多,一方面是因为偏微分方程算是一个应用比较广泛的学科,所有有很多人写教科书,另一方面是因为偏微分方程这个学科可以有很多不同的入门方式,写书的角度各不相同。这里只谈入门教材。下面列出的有一些是大家非常熟知的“名著”,有一些则是相对小众的个人偏好。希望能给想了解偏微分方程的人有一定的参考作用。根据我自己的记忆乱序排列(想到哪里写到哪里):

  1. Fritz John, Partial Differential Equations Fourth Edition(Applied Mathematical Sciences 1)1981

偏微分方程 第4版


年代久远的一代经典,世图有影印,但是排版惨不忍睹。我只读过第一章,讲的还是比较清楚的但是个人觉得不适合用来入门(其实很多叫introduction的书写的都不是那么易读的)。这本书可以说是影响了几代人,在很多比较近一点的教材中都能看到它的影子。Fritz John本人也是在pde领域做出了很多开创性的工作,而且他的合作者很少(可以参考S Klainerman的文章On the work and legacy of Fritz John, 1934–1991以及S Hildebrandt写的Remarks on the life and work of Fritz John),他的另一本书Plane Waves and Spherical Means排版就要好很多了。

Applied》【摘要 书评 试读】- 京东图书item.jd.com图标

当然Fritz John最出名的书或许是与Richard Courant(John应该算是Courant的学生吧)一起写的三卷Introduction to calculus and analysis.(很多人都知道这本书是Courant写的,但并不知道另一个作者是Fritz John)

微积分和数学分析引论 第一卷 第一分册,第二分册


2. Gerald B. Folland-Introduction to Partial Differential Equations-Princeton University Press (1995)(排版也是比较惨,看久了伤眼睛的那种,Folland早年间也做过一些PDE的研究,不过PDE不是他的主业)

偏微分方程导论(第2版)



Folland最有名的书当然是那本著名的Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications 1999

实分析(第2版)



以及那本Harmonic analysis in phase space. Annals of Mathematics Studies, 122. 1989.

Avner Friedman, Partial Differential Equations. Dover 1969.

《偏微分方程英文原版PartialDifferentialEquations 数学科普书籍》【摘要 书评 试读】- 京东图书图标

这不算一本初级的入门书,主要内容是一半椭圆一半抛物(半群方法),建议先学点古典的PDE再来看这个书,这个书一上来就是弱解,Sobolev空间,各种不等式,虽然不难读,但分析功底差点的人容易劝退。这个可能更多的是作为研究生教材用好一点。我第一次看到Gårding's inequality的证明就是在这个书里。他的那本Partial differential equations of parabolic type.(1964)或许更为出名一点,对抛物型方程感兴趣的也可以参考 Herbert Amann的 Linear and Quasilinear Parabolic Problems(这属于比较难的进阶参考了). Friedman属于那种兴趣广泛的数学家,

作者:xyor wz
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3.Emmanuele DiBenedetto,  Partial differential equations. Birkhäuser 2010

请不要放过DiBenedetto大佬的任何一本书,比如(Universitext)Degenerate parabolic equations. Springer 1993, Real analysis. Birkhäuser  2016, Classical Mechanics: Theory and Mathematical Modeling.Birkhäuser 2011等

4. Michael Renardy, Robert C. Rogers, (Texts in Applied Mathematics 13)An Introduction to Partial Differential Equations.

国外数学名著系列(影印版)75:偏微分方程引论(第二

The goal of this course was to provide the background which is necessary to initiate work on a Ph.D. thesis in PDEs. The level of the book is aimed at beginning graduate students.

属于那种门槛很低但又讲的比较深入的书了,在书的最后列了丰富的相关书籍。个人觉得这个完全可以作为Evans的替代,至于选这个还是Evans看个人偏好吧。

5. J. Rauch, (GTM?)Partial Differential Equations, Springer 1991. 我是从Rauch的另一本书(GSM133)Hyperbolic Partial Differential Equations and Geometric Optics AMS 2012的参考文献里得知这本书的存在的。GTM系列自然是名声在外了,但是这本好似不是很出名我也没有看过。Rauch也是做PDE的专家了,感兴趣的可以找来看看。

6. Walter A.Strauss, Partial Differential Equations: an Introduction. 2018 流传度很广的标准本科生教材,国内很多本科教材都或多或少有这本书的影子。Strauss有很多华人学生。

偏微分方程导论 第2版


更想推荐他那本Nonlinear wave equations.不过这已经不能算入门了。

7. Sandro Salsa (UNITEXT99)  Partial Differential Equations in Action From Modelling to Theory. Springer 2016. (有700页的样子,Evans也有700多页吧)个人认为,作为入门教材,这是Evans的最好替代(Evans涉及的内容要更多一些,但这本要更友好一些,也更推荐这本给那些非数学系的初学者),个人觉得这本书关于守恒律的那一段写的是我见过的书里面最友好的了。

8. Lawrence C. Evans(GSM 19)Partial Differential Equations Second edition. 2010 流传度最广泛的研究生PDE教材没有之一(至少在国内是这样的)。虽然定位为研究生教材,但跟Salsa 和Renardy&Rogers一样,本科拿来入门也没啥大问题,最多翻翻别的书补充一些古典方法的内容。曾经有人跟我说Evans的书对他来说的最大作用就是出现在参考文献里以及偶尔翻翻他的附录。Evans的第五第六章写的还是很精彩的,第三章也挺好,其余的章节个人认为都有更好的替代。即便不怎么翻但还是很值得买一本收藏的(高教社的这个影印版不知道比世图高到哪里去了)。

偏微分方程(第二版)(英文版)


9. Mikhail Shubin, (GSM 205)Invitation to Partial Differential Equations 2015第一次知道Shubin是因为那本Pseudodifferential operators and spectral theory,这本拟微分算子读得我可以说是非常难受了(主要还是因为菜)。当无意间发现他还写过入门书的时候,也是赶紧拿来拜读了一下,这个书读起来倒没那么难受(再一次证明了自己的菜),据Shubin说这本书来源于其在莫斯科大学授课的讲义。Shubin是Vishik的学生,这本书作为参考还是挺好的,不太建议当做入门。

10.  O.A. Oleinik 偏微分方程讲义

偏微分方程讲义(第3版)


又一本苏式教材?不是很清楚这个有没有英文版,也是那种古典与现代并重的书。学守恒律,流体相关PDE是不太可能绕开Oleinik的名字的,她比较有名的书还有(都是英译本)Homogenization of differential operators and integral functionals., Second order equations with nonnegative characteristic form., Mathematical problems in elasticity and homogenization.以及一本英文的Mathematical models in boundary layer theory.

11. Hadamard. Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations很有名的一本书,请勿拿来作为入门教材!(这是一本上个世纪20年代的书,可以拿来去感受一下那个年代的风格)

线性偏微分方程中的柯西问题讲义(英文版)

12.顾樵 数学物理方法 不知道这个算不算外国教材,主要部分是在讲古典的pde,属于那种很好看的书

数学物理方法


13. Arnold Sommerfeld 物理学中的偏微分方程 已经躺在购物车里有一段时间的书了,还没看过,不过应该也是那种不适合现在的人入门的书,Sommerfeld的大名应该会让很多人对这本书感兴趣。

正版图书 物理学中的偏微分方程 (德)ArnoldSommerfeld


14. Peter J Olver,(UTM) Introduction to Partial Differential Equations. 2014, Sheldon Axler和Kenneth Ribet主编的本科生教材系列Undergraduate Texts in Mathematics中的一本,比较标准的本科生教材。UTM整个系列都属于比较友好的存在了。Olver也是那种兴趣广泛的数学家,个人觉得这本书要比他那本著名的Applications of Lie groups to differential equations.要友好太多了。

15.韩青 (GSM120)A Basic Course in Partial Differential Equations. AMS 2011.我觉得韩老师这本书很好的一点就是,强调所谓的先验估计(a priori estimates)这对于学pde是非常重要的!

16. 韩青,林芳华Elliptic partial differential equations. 1997 说道韩老师的书,这本跟林芳华老师一起写的椭圆型微分方程,可以说是最好的椭圆方程入门教材了(个人认为Gilbarg-Trudinger与其说是教材不如说是参考书)韩老师最近有出一本新书(GSM171)Nonlinear elliptic equations of the second order.(2016)感兴趣的可以参考一下。其实说道椭圆型方程个人觉得伍卓群,尹景学,王春朋的《椭圆与抛物型方程引论》也是一本很好的教材(本书是有出英文版的World Scientific (2006),陈亚浙的椭圆方程的书还有董光昌的非线性二阶偏微分方程也是有英译本的)尹老师有一个讲课的视频也可以配合食用。说到这里关于椭圆型偏微分方程还有很多很好的书籍比如

N.V. Krylov的(GSM12)Lectures on elliptic and parabolic equations in Holder spaces和(GSM96)Lectures on elliptic and parabolic equations in Sobolev spaces,

J. Nečas的 Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations(2012)(本书的法语原版出于1967年),

S Agmon Lectures on Elliptic Boundary Value Problems,

Hervé Le Dret, Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations An Introduction,

Luigi Ambrosio, Alessandro Carlotto, Annalisa Massaccesi的Lectures on Elliptic Partial Differential Equations(2018),

Françoise Demengel, Gilbert Demengel -Functional Spaces for the Theory of Elliptic Partial Differential Equations (2012),

Lisa Beck的 Elliptic Regularity Theory A First Course(2016)

都是很好的书,但这或许已经不能算入门书了吧。

椭圆与抛物型方程引论


17. J. Jost, (GTM214)Partial Differential Equations,third edition. 2013 国内的影印版好像还是第二版,Jost是很会写书的那种人,第一次知道他是我一个朋友把那本Postmodern Analysis推荐给我。这是一本从零基础可以学到de Giorgi-Nash的现代PDE入门书,或许拿这个书入门椭圆方程更合适?

18. Serge Alinhac, Hyperbolic partial differential equations-Springer(2009)想学比较现代一点的波方程首选此书。可以作为了解vector fields method的第一步。看过这个之后再去看看Christopher D. Sogge的Lectures on Nonlinear Wave Equations.应该是个不错的选择。

19.Alberto Bressan,(GSM143)Lecture Notes on Functional Analysis With Applications to Linear Partial Differential Equations 2013.你没有看错这是一本泛函分析教材,有点像Brezis的书但又不太一样,把这个看做学现代PDE的准备知识也不错。说道双曲方程就不得不提守恒律,所有其实是想推Bressan的另一本书 (Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications 20) Hyperbolic systems of conservation laws.The one-dimensional Cauchy problem. 2000推荐感兴趣的人去看一下Denis Serre给这本书写的review(Denis Serre的书也是很靠的参考)。PS. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications 这个系列里面有好几本跟PDE有关的书,都还挺有名的包括

P. L. Lions的两卷Mathematical topics in fluid mechanics, Vol. 1: Incompressible models和Mathematical topics in fluid mechanics, Vol. 2: Compressible models.

Thierry Cazenave and Alain Haraux的 An introduction to semilinear evolution equations.

J. Y. Chemin的Perfect incompressible fluids.

S. Kuksin的Hamiltonian partial differential equations.

Eduard Feireisl的Dynamics of viscous compressible fluids.

Anton′ın Novotn′y and Ivan Straˇskraba的Introduction to the mathematical theory of compressible flow.

Jean-Yves Chemin, Benoit Desjardins, Isabelle Gallagher and Emmanuel Grenier的Mathematical Geophysics: An introduction to rotating fluids and the Navier-Stokes equations.

20. Mi-Ho Giga, Yoshikazu Giga, Jürgen Saal的Nonlinear Partial Differential Equations_ Asymptotic Behavior of Solutions and Self-Similar Solutions. 2010这是原书的英文版,这本书其实还有中译本。名字很长但至少前半部分是非常友好的,属于那种进阶入门书吧,可以让你从最基本的热方程慢慢地学到Navier-Stokes。一开始知道这个书我是拒绝的,因为这里面的某位作者的谋篇论文真的很难读,但是读过这本书之后我是有一瞬间不敢相信这本书和我读过的谋篇论文居然有同一个作者!!!

21. Michael E. Taylor - Partial Differential Equations I_ Basic Theory,Volume  II:Qualitative Studies of Linear Equations, Volume III: Nonlinear Equations(2011)

一套出现在各种参考文献里的书!

22. [Pure and Applied Mathematics 62] François Treves (Eds.) - Basic Linear Partial Differential Equations (1975)Treves 竟然写过这个书,这是我没想到的!

23.  C. Carathéodory - Calculus of variations and partial differential equations of the first order (1999, American Mathematical Society)考古这是一本上个世纪三十年代的书。

24. Gregory Eskin (GSM123)Lectures on Linear Partial Differential Equations没怎么看过的一本书,出于对GSM系列的信心列在这里。

25. Mikhael Gromov - Partial Differential Relations-Springer (1986)凑数,请勿被这个朴实无华的书名所骗,请勿将此看做入门书籍。对h-Principle感兴趣的话可以看看。

26. Mikhailov. Partial-Differential-Equations(1978)俄语版的英译本。

27.Richard Haberman - Applied Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems很有名的一本非数学系PDE用书,国内有引进过第四版的影印。

28. Nakhle H. Asmar-Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems-Pearson (2004) 同上.

29. S. Mizohata(溝畑茂), The theory of partial differential equations.(1973是1965年日语版的翻译)在图书馆翻过此书,年代久远不太好找了。Sigeru Mizohata and William F. Ames, On the Cauchy Problem(1985)这本书是基于1983年在武汉大学的讲课的讲义。

31. Alexander Komech, Andrew Komech - (Problem books in mathematics) Principles of partial differential equations-Springer (2009)这是本习题册来着。

30. Alexander Komech, Andrew Komech - (Problem books in mathematics) Principles of partial differential equations-Springer (2009)这是本习题册来着。

32. Marcelo R. Ebert,Michael Reissig (auth.) -  Methods for Partial Differential Equations_ Qualitative Properties of Solutions, Phase Space Analysis, Semilinear Models(2018)一本比较另类的书.

33. Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators-Springer-Verlag Berlin Heidelberg (1969)善意提醒:请勿用Hörmander的书入门!

34. N.H. Ibragimov微分方程与数学物理问题这应该不算pde入门书,一本很神奇的书。

35. A. K. Nandakumaran & P. S. Datti(Cambridge–IISc Series) Partial Differential Equations Classical Theory with a Modern Touch, 2020强推

36. Alberto Valli -  [UNITEXT 126]A Compact Course on Linear PDEs 2021和上一本结合起来也是很好的入门选择

37. Giampiero Esposito - From Ordinary to Partial Differential Equations(2017)一本想法挺好的书,可以作为参考。

38. F. Sauvigny, Partial differential equations 1,2两卷 还挺厚的两本,选材比较有趣,可作为参考。

39. Andras Vasy -(GSM169)Partial Differential Equations_ An Accessible Route Through Theory and Applications(2015)写给非数学专业的比较高级一点的入门书吧,前言里摘取一段

In terms of mathematical outlook, this book is more advanced than Strauss’s classic text [6]—but does not cover every topic Strauss covers— though it shares its general outlook on the field. It assumes much less background than Evans’ [1] or Folland’s [2] text; Folland’s book covers many similar topics but with more assumption on the preparation of the students.

Lectures on Elliptic and Parabolic Equations in Sobolev Spaces
Lectures on Elliptic and Parabolic Equations in Holder Spaces




不同水平和方向的“偏微分方程”需要的知识基础是差别很大的。本科生级别的偏微分方程的基础主要是数学分析(多元),然后加一点点的复变函数和常微分方程。说句实话,这种水平偏微分方程其实用处不是很大。

如果是要学习弱解、Sobolev 空间和 [公式] 估计理论,你需要的基础是实变函数和一些泛函分析,evans在这方面是一个很好的入门书籍。

偏微分方程的理论结果很多都是“分析”工具发展的动力和直接应用。“变分法”是解偏微分方程一个工具,同时它也是非线性泛函分析的理论第一,如果你系统地学过后者,那么前者你自然就学到了,如果你通过偏微分方程的书(比如evans)来学习“变分法”,那么你至少对于“direct method”等基础方法你会比较熟悉了。再比如吧,偏微分方程的 [公式] 估计,如果你先学了CZ估计等调和分析的工具,那么你理解起来就轻松简单了,如果你没学过也不是什么天大的事情,只要是好的书(Elliptic Partial Differential Equations of Second Order)都会让你“理论上”没系统学过调和分析也能看懂这些,但是理解到什么程度就不知道了。但是,如果你要学习Taylor那套偏微分方程,我建议你先学一学微分几何和调和分析(伪微分算子),我一直觉得他这套书写得不怎么样,如果你没学过伪微分算子等基础知识看得会异常痛苦。我其实已经暴露了当初咬牙系统地学调和分析的初心了。如果你要学习色散方程,那么stein那套调和分析最好是先看一次。如果你系统地学习了非线性泛函分析,那么你对各种基础的解决偏微分方程方法会了解。

你分析功底越高,你学偏微分方程会越容易,但是你没有这些功底,有些好书也能帮你走走捷径。不过,一到研究水平,那么你几乎必须回头学习那些分析工具,因为你研究新的问题往往要求你对分析工具具有比较彻底的了解,从而比较好改造。所以,偏微分方程的研究者几乎都擅长泛函分析和调和分析。


让我们一起畅游一下[分析数学] 的海洋

摘自

科学网博主 张凯军:畅游一下分析数学

http://blog.sciencenet.cn/blog-865263-787703.html 


据说高考改革方案中的数学考试占有重要份额,由此联想到为什么"社会这样喜爱数学"这个教育问题。既然数学被民众"重视"到了如此地步,索性就让大家看看高深数学王国中一些一线城市的风貌。只要大胆和坚持,保证会有点滴收获。

面对数学的峦峰,其实所有的数学人都是数学努力进程中的无穷小量。对那些让我们崇拜与尊敬的伟大数学家们而言,当对比广博的数学同仁时,他们才是数学努力进程中的无穷大量。要想成为数学的无穷大量型人才,第一件事就是在心理上必须解除任何的“名人未解、自己无望”的悲观研究心理障碍,使得自身处于完全无约束的能量自由勃发状态,然后才可能真实地验证出自己的数学价值。非数学人士其实可以类似地打开自己数学心扉和挖掘数学潜能。在数学成才教育中,学生自身的潜能、兴趣、能力、志向、毅力、勤勉与自信等微观元素的宏观合成是至关重要的数学教育成才技术。在数学教育心理学洗礼之后, 广大数学爱好者非数学符号地进入现代核心分析数学的海洋中畅游, 不失之为一条快速提高数学素养的捷径。

泛函分析,调和分析,复分析,随机分析,偏微分方程和大范围分析等核心分析数学学科的知识宝库足以让代代数学人追求永远,因而个人之力就是个微重力而已。数学的雄峰虽难以撼动,但通过教育的望远镜却可以领略其几何的教育外貌,这也许正是本文的微小作为之处。

01

泛函分析

泛函分析是现代分析数学的重要分支之一,其深远的理论体系和广泛的应用价值已经对现代分析数学,乃至现代科学技术领域都产生了重大影响。大学本科阶段的泛函分析课程主要以线性泛函分析中的赋范线性空间及其上的有界线性算子理论等一些最基本内容为主。研究生阶段的线性泛函分析主要介绍紧算子与Fredholm算子、Banach代数、无界线性算子、线性算子半群、广义函数、Hilbert-Schmidt算子与迹类算子等内容。研究生阶段的非线性泛函分析课程一般简要讲授Banach空间上的微积分学、隐函数定理与分歧问题、拓扑度、单调算子以及变分方法等基本内容。泛函分析的主要研究方向为: 线性算子谱理论、函数空间、Banach空间几何学、算子代数、非交换几何、应用泛函分析以及非线性泛函分析的相关研究方向等。

泛函分析是经过数学分析、高等代数和空间解析几何的“升空式洗礼”,而从“地上”到“天上”的一个数学抽象推广过程。有限维空间的几何理论以及从有限维空间到有限维空间的映射理论是大学数学专业一二年级的主要学习内容。若只考虑线性映射的运算性质,那就是线性代数。若考虑非线性映射的连续性与光滑性,那就是微积分。若把有限维空间的距离概念推广到无限维空间,再考虑相应的线性映射与非线性映射的连续性以及光滑性,那么就自然而然地走到了泛函分析的疆界。数学分析,高等代数和解析几何的很多结论在泛函分析层面上都有相应的推广结论。注意到这一点之后,又可以从“天上”回到“地上”了。把有限维换成无限维,以及欧式度量换成抽象度量,想法还是一样的想法,但现象却是作为拓扑、代数、几何与分析的融合体的泛函分析了。分析、代数、几何与拓扑的数学思想方法的交融是泛函分析发展壮大的力量之源。泛函分析已经成为现代分析数学的必要工具之一。

Fields 奖获得者J. Bourgain,A.Connes,W. Timothy Gowers,A. Grothendieck, L. Schwartz 及Wolf奖获得者I. M. Gelfand,M. G. Krein等著名数学家在泛函分析领域都做出了巨大成就。

泛函分析的参考书目推荐如下:

(1)M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, I – IV, 1970’s。

(2)K. Yosida, Functional Analysis, 1980。

(3)J. Barros-Neto, An Introduction to the Theory of Distributions,1981。

(4)张恭庆,林源渠,泛函分析讲义,上册,1987。

(5)张恭庆,郭懋正,泛函分析讲义,下册,1990。

(6)W. Rudin,Functional Analysis,1991。

(7)Alan Connes,Noncommutative geometry,1994。

(8)P. Lax, Functional Analysis,2002。

(9)Kung- Ching Chang,Methods in Nonlinear Analysis,2005。

02

调和分析

调和分析是现代分析数学的核心领域之一,其辉煌的成就让一代代分析学家为之倾倒与奋斗。按照华罗庚先生的说法,把已知函数展开成Fourier级数的运算就叫做调和分析。事实上,调和分析也正是从Fourier级数和Fourier变换理论的研究开始发展壮大的。从物理的观点,调和分析就是要把信号表示为基本波“调和子”的超位置叠加。几个世纪以来,调和分析已经形成了庞大的学科体系,并在数学、信息处理和量子力学等领域有着重要和深刻的应用。

从应用角度来说,有效确定Fourier级数问题的运算称为实用调和分析。有限调和分析是实用调和分析的主体框架,即从有限个数据所应计算的最恰当的项数的角度,从有限到有限的思想方法来解决实际问题的Fourier方法是有限调和分析的应用价值所在。再从物理的角度,人们可以发现量子力学中的测不准关系有着调和分析版的解释,即 Paley – Wiener 定理所描述的非零紧支集广义函数的Fourier变换没有紧支集。

抽象调和分析是调和分析更深入的现代数学分支,即研究拓扑群上的调和分析理论,特别是Fourier变换理论。Abel紧群的Ponteyagin对偶理论是调和分析特征在现代数学处理中的合适写照。对一般的非Abel局部紧群来说,调和分析是与酉群的表示论密切相关的。经典卷积的Fourier变换是Fourier变换的乘积的性质可以通过对紧群的Peter-Weyl 定理有所升华体现。当群既非Abel又非紧群时,一般的抽象调和分析理论还不是很完善。例如,是否此时存在Plancherel定理的类似物还不知道。但是在许多特殊情况下,通过无穷维表示技术是可以分析一定的相关问题的。

下面主要对上的调和分析内容进行简要的描述,以便对调和分析方向的研究与学习有一点点便利。

覆盖技术、极大算子、Calderón–Zygmund分解、内插技术和奇异积分算子是现代调和分析的基本内容。覆盖技术不仅是测度论的重要工具,也是调和分析的主要方法之一。Hardy–Littlewood 极大算子理论的建立与覆盖技术息息相关。上的H.- L极大算子理论主要体现了一类非线性算子的-有界性理论,并且可以解决很多现代分析的重要问题。Calderón–Zygmund分解技术是研究奇异积分的实变量分析的关键方法,即把任意的可积函数拆分成“小部分”和“大部分”的和,然后用不同的技术分别处理各个部分是其思想精华所在。奇异积分算子是由带有奇异性的积分核所产生的。奇异积分算子的-有界性问题是重要的研究问题之一。奇异积分算子的理论目前已经很是丰富了。

从Fourier级数和Fourier变换的经典Fourie分析到Hardy–Littlewood 极大算子和奇异积分算子等理论,可以认为是调和分析的一次飞跃。调和分析的另外一次重大飞跃应该是-空间(Hardy空间)、有界平均振荡函数的BMO空间和-权理论的建立与完善。笔者认为:调和分析的最后一次飞跃也许是调和分析方法在分析学科的世界级数学猜想的解决方面的有效实践问题。

Hardy空间的研究起源于Fourier级数和单复变量分析,至今已经有丰富的内涵,特别是高维实方法的介入,使得-空间理论有了本质性的现代发展。有界平均振荡函数的BMO空间,也称为John- Nirenberg空间,是在分析大师F. John和L. Nirenberg首次研究了该空间的拓扑性质的基础上而给出精确定义的。-空间,BMO空间和-权理论是现代调和分析的三大发明。C. Fefferman获得Fields奖的主要工作就是,在L. Nirenberg工作的基础上,发现了BMO空间是-空间的对偶空间。BMO空间在分析数学的众多领域和概率秧论中都有重要的应用。在BMO空间基础上,L. Nirenberg与H. Brezis合作,还发现了作为BMO空间的子空间的VMO空间(消失平均振荡空间),特别是将拓扑度理论推广到属于VMO空间的映射结果使得拓扑学家为之惊叹。-权理论在奇异积分算子有界性研究中有着重要作用。R. R. Coifman 和 C. Fefferman 对-权理论的建立做出了重要贡献。

我国世界级数学家华罗庚先生在经典调和分析领域取得了世界领先成果。他的名著《多复变函数论中典型域上的调和分析》曾获得首届国家自然科学奖一等奖。北京大学的调和分析学派为中国调和分析方向的人才培养做出了巨大贡献。

获得过Wolf奖和 Fields奖的调和分析名家有A. P. Calderón,C. Fefferman,E. M. Stein,T. Tao等。

关于调和分析的数学著作推荐如下:  

(1)E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, 1970。

(2)E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, 1971。

(3)E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, 1993。

03

复分析

在代数与分析学科中,复数域都是重要的基本数学沃土。复变函数的微积分理论就是经典复分析的主要内容之一。在复数土壤上的微积分,除了继承传统,当然也必定会出现新的天地,例如,Cauchy积分理论,Weierstrass 级数理论和复Riemann几何理论等就是复数域上的特有理论。在大学的复变函数论课程中,作为双射解析映射的共形映射理论应该是课程的亮点部分之一。解析映射的无穷次可微性、非临界点处的局部保角性,以及非常值映射的开集映成开集的开映射性质等都是解析映射的本质性性质。解析映射的实部与虚部所对应的Cauchy-Riemann方程更是深入推广解析映射理论的偏微分方程出发点。大学本科的复变函数内容已经在除了数学之外的工程技术、电子工程和航天工程等领域产生了重要应用。

复分析可以分成单个复变量函数论,多个复变量函数论,以及复流形上的分析理论等三个重要部分。自从19世纪左右单复变产生以来,单个复变量函数论的理论已经十分完善。随之发展的多个复变量函数论理论已经成为现代主流分析数学领域之一。研究生阶段的单复变复分析内容主要包括Riemann映射定理、共形映射的边界对应定理、单值性定理、广义Schwarz引理、共形不变量(共形模与极值长度)、拟共形映射、Riemann曲面、Riemann-Roch定理、单值化定理以及复变函数逼近论等重要内容。鉴于单复变理论的日臻完善,该领域的研究趋势正在向复动力系统方向纵深发展。研究生阶段的多复变课程主要是在经典多复变与现代多复变两个方面加以介绍。前者是单复变理论的高维复空间推广理论:高维复空间中的代数域及其上的多复变函数论,而后者是复流形上的相应函数论理论。多复变课程难度更大,因而学生队伍一般较小。多复变函数论作为单复变函数论的推广理论,也同样面对继承与发扬的根本性问题。多复变有别于单复变的两个基本定理是“不存在双全纯映射将高维复空间中的单位超球映为同一空间中的多圆柱体”的Poincaré定理,以及“高维复空间中存在如此的区域使得在此区域上的全纯函数一定可以全纯延拓到更大的区域之上”的Hartoge定理。Poincaré定理表明在维数大于或等于2时单复变的Riemann映射定理不再成立。Hartoge定理产生了高维复空间中函数论研究的合适区域判别问题。复流形上的函数论、上同调、微分形式、Cauvhy积分以及Dolbeault 和de Rham的基本定理等内容是现代多复变的核心内容之一。

我国数学家在单复变与多复变领域都取得了世界先进水平的研究成果。例如,我国熊庆来学派的数学家在单复变亚纯函数的值分布论领域做出了世界级的研究成果。华罗庚学派的数学家在多复变函数论中典型域上的调和分析、典型域、典型流形、积分表示与边值问题、Schwarz引理、拟凸域等诸多方向都取得了世界领先成果。

Fields 奖与Wolf奖获得者中的著名数学家L. V. Ahlfors,L. Carleon,H. Cartan,Kodaira Kunihiko,J. P. Serre,C. L. Siege,S. K. Smirnov等都在复分析领域取得了杰出成就。

关于复分析的入门数学著作推荐如下:

(1) W. Rudin, Real and Complex Analysis,1966。

(2) H. Grauer, K. Fritzsche, Several Complex Variables,1976。

(3) L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 1979。

(4) 龚 昇, 简明复分析,1996。

(5) 李 忠,复分析导引,2004。

04

随机分析

随机分析是概率论分析数学深入发展的现代数学分支。在随机过程理论基石的基础上,渗透拓扑、代数、几何、分析等核心数学的思想方法,交融于实际与应用问题的背景之下,随机分析已然成为当今世界主流数学分支俱乐部的重要成员。我国数学家的随机分析水平已经步入世界先进行列,在国际数学家大会上已经应邀做一小时报告和四十五分钟报告。我国的随机数学研究队伍也以中国科学院和一些著名大学的随机数学学派驰名于世界。

随机数学的两个基本细胞应该是测度论与随机性。随机性是自然界中普遍存在的客观现象,测度论是分析数学的重要数学结构。用数学模型的观点看世界是数学家博大奉献胸怀的基本写照,如随机数学的应用内涵所在一样。仅从数学角度看随机数学,那么真的不必非要提及随机二字,只要研究测度论的发展就可以了。全有限测度空间上的微积分理论,或者分析理论,其实就是随机分析学者的日常工作。当然,以两种不同的观点来看待测度论意义下的可测函数族,在思想方法上会对两种不同的研究发展带来本质的区别。例如,把可测函数族视为随机变量族的随机过程的轨道空间思想,对随机数学的发展是至关重要的。

常微分方程模型刻画的光滑向量场轨道与随机(常)微分方程模型刻画的随机次光滑轨道对实际问题的接近度往往是后者更佳。于是,随机微分和随机积分的概念就是最为关键的学科创建因素了。Wolf奖获得者K. Ito对布朗运动定义的随机积分概念,以及随之发现的Ito积分公式,使得随机分析成为分析数学文库中的美丽诗篇。布朗运动样本轨道函数的连续,但几乎处处非有界变差和处处不可微的性质使得通常的Riemann-Stieltjes积分和Lebesgue- Stieltjes积分按样本轨道函数无法定义,因为Riemann-Stieltjes积分定义中的Darboux和不以概率1收敛。但是,前述Darboux和可以在均方意义下收敛。也正是这一点激发了Ito积分的创建灵感和确立了Ito积分的独立地位。注意到随机过程的样本轨道的不光滑特点,后继的很多随机数学分支,如随机微分几何等都由此得到了数学的独立地位。本科阶段的随机分析课程多数是以随机微分方程课程的形式出现的,并且主要讲授Brown运动和白噪声的基本性质,随机积分与Ito公式,随机微分方程的可解性等基本内容。对不同类型的随机过程可以在适当意义下定义相应的随机积分的事实也常常加以简述。研究生阶段的随机分析课程是可以“天高任鸟飞,海阔凭鱼跃”的。倒向随机微分方程,狄氏型理论,大偏差理论,无穷维随机分析,拟似然分析,自由概率论,随机偏微分方程,随机动力系统,随机微分几何等等都是研究生随机分析课程的有益食材。当然,这一阶段的随机分析已经步入综合核心数学的家园,已经不是只了解与掌握测度论就行那样简单的事情了。数学的真正魅力所在,其实就是大一统的数学价值观,随机分析的高深境界也不例外。       

关于随机分析的数学著作推荐如下:

(1)A. Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol.1,1975。

(2)A. Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol.2,1976。

(3)I. Karatzas, S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 1991。

 (4)P. Malliavin, Stochastic Analysis, 1997。

 (5)黄志远,随机分析学基础(第二版),科学出版社,2001。

05

偏微分方程

偏微分方程可以顾名思义地理解为含有未知函数及其若干偏导数的数量关系式。未知函数就是人类对神秘未知的自然界现象的目标数学模型函数。导数就是目标函数随着时间变化的变化快慢程度。偏导数就是自然界中影响因素的多元化而导致的对其中的部分因素的变化率刻画。从因果关系出发,偏微分方程可以被认为是自然界一切因果现象的数学模型,于是乎其数学之外的应用价值的巨大程度是可想而知的。

偏微分方程在数学王国内的地位也是富贵有加的。美国麻州的Clay数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件轰动媒体的大事:对以下七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元寻求解答:NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨- 米尔斯理论、Navier –Stokes 方程、BSD猜想。这七个世界级的数学难题中,至少有两个半问题是与偏微分方程有关的。此外,中国科学院数学物理学部的所有院士中,至少有四分之三的院士熟悉偏微分方程,而且所有数学院士中有近一半院士的数学研究工作与偏微分方程有关。偏微分方程的吸引力之所以如此之大,其中一个主要的原因就是偏微分方程的理论价值与应用价值皆为“无穷大”。如果把整个数学比喻为宇宙,地球被比喻为数学外的应用领域和数学内的分析数学,地球外(包括大气层)的宇宙部分被比喻为核心数学,那么偏微分方程就是可以自由往返于地球和外部空间的“空天航天器”。千年数学难题中的庞加莱猜想最近已经被解决,而这一看似与偏微分方程知识无关的拓扑问题却被借用偏微分方程的理论和思想方法所解决。从硬分析到软分析,再到现代分析,甚至是其它核心数学领域,偏微分方程的身影几乎处处存在。

我国数学家的偏微分方程研究水平已经达到世界级水平,以中国科学院和一些著名大学的偏微分方程学派为主的科研成果早已在世界一流数学杂志上频频出现,并且中国偏微分方程团队与世界级的众多国际偏微分方程团队的学术交流与影响已经处于互利双赢的境界。

偏微分方程可以分为线性与非线性的,也可以分为一阶方程,二阶方程和高阶方程,或者椭圆型、抛物型、双曲型等等。每一种情形都有庞大的理论体系和研究成果。与常微分方程不同,绝大多数的偏微分方程不能求出通解或解的解析表达式,甚至是线性方程也可以没有解。同时物理与工程技术的问题也需要把方程与定解条件(初值条件、边界条件等)来一起考虑。所以,定解问题是偏微分方程的主要研究对象,当然极少数的非线性偏微分方程也还是有精确解的表达式的。

大学本科阶段的偏微分方程课程主要讲授线性的一阶方程和二阶方程,特别是相应方程定解问题的适定性:解的存在性、唯一性与稳定性,其中存在性部分多数限于具体的解法。研究生阶段的偏微分方程课程主要研究解的定性理论和不同意义下解的适定性问题。首选的讲授内容就是广义函数、Sobolev空间、泛函分析高级课程和偏微分方程的现代方法。偏微分方程领域有四大法宝:微局部分析理论、先验估计技术、调和分析方法与弱收敛方法。微局部分析理论起源于一般线性偏微分方程的研究,善用诸如广义函数的波前集,拟微分算子,Fourier积分算子,仿微分算子、超函数等一些现代分析数学工具。在非线性偏微分方程的最新研究中,也已经发现了微局部分析的应用。先验估计是假设解存在的前提下所建立的解的有效信息估计,其主要在解决解的存在性问题时至关重要,特别是对非线性偏微分方程的研究更加弥足珍贵。最为有名的先验估计当属二阶椭圆型与抛物型方程的Schauder估计、-估计,De Georgi-Nash估计,与Krylov-Safanov估计等。对于一般的非线性偏微分方程而言,对解本身及其各阶导数的可能范数模估计是非常本质性的可解性因素。调和分析方法与弱收敛方法在一些著名偏微分方程的研究中已经显示了勃勃生机。

Fields 奖与Wolf奖获得者中的著名数学家J. Bourgain,De Giorgi,L.V. H?rmander,P. D. Lax,J. Leray,H. Lewy,P. L. Lions,T. Tao,C. Villani等对偏微分方程的研究都做出了杰出贡献。

关于偏微分方程的数学著作推荐如下:

(1) A. Friedman, Partial Differential Equations, 1969。

(2) J. Smoller, Shock Waves and Reaction –Diffusion Equations, 1983。

(3) L.C.Evans, Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential Equations, 1990。

(4) M. Taylor, Partial Differential Equations, Vol. 1-3, 1996。

(5) L.C. Evans, Partial Differential Equations, 1998。

(6) 苗长兴、张 波,偏微分方程的调和分析方法,2008。    

06

大范围分析

数学分析、高等代数与空间解析几何被视为现代数学基础的“第一高”,而泛函分析、一般拓扑和抽象代数被认为是“第二高”。现代数学基础的“第三高”就是微分流形。作为现代核心数学大家园之一的大范围分析学(也称为流形上的分析)就是在这“第三高”的基础上,融合拓扑、代数与几何的思想方法而形成的高级分析数学领域。

微分流形是一个具有“微积分结构”的Hausdorff 拓扑空间,其包含了“第一高”中通常的规范曲线、曲面和区域等几何对象为特殊例子。微分流形就是为了微积分而生的说法并不过分。在微分流形的舞台上,可以考虑拓扑问题(微分拓扑),几何问题(微分几何)和分析问题(大范围分析),并自由与充分地运用代数、几何、拓扑和分析的方法与理论来研究相应的深刻数学问题。假设武术“奥妙同构”于数学,并且武术的“第一高”,“第二高” 和“第三高”分别是“地上的腾、挪、跳、跃”,“ 梅花桩上的腾、挪、跳、跃”和“空中的腾、挪、跳、跃”,那么微分流形上的现代数学理论就相当于武术的“第三高”。由此可以看出,大范围分析学在现代核心数学中的基本重要性了。

大范围分析学课程主要讲授流形与流形间的映射、流形的嵌入与浸入性质、临界值与横截性、Sard定理、切丛与向量丛、流形上的微积分、流形上的微分算子、无穷维流形、Morse理论及应用、Lie群、动力系统、奇点理论与几何分析等重要内容。应该说明的一点就是代数拓扑知识对学习大范围分析学的重要意义。

北京大学非线性分析学派的数学家在无穷维Morse理论及应用方面取得了世界先进水平的重要研究成果。

下面关于动力系统和几何分析两个方向进行简要介绍。

动力系统起源于经典力学的数学模型。经过常微分方程和偏微分方程分别刻画的有限维与无限维系统的演化,再到抽象的拓扑动力系统和随机动力系统,动力系统已经在现代核心数学领域确定了应有的重要地位。非线性泛函分析中的非线性半群概念就是一个动力系统概念。代数运算的半群性质是刻画动力系统的主要数学结构。动力系统作为抽象系统的定性研究,其主要特征是包含拓扑式,或遍历式的整体性研究。哈密尔顿系统的微扰理论、Kolmogorov系统的遍历理论以及KAM定理等等都是动力系统理论中的亮点性结果。J. H. Poincaré开创的常微分方程定性理论,诸如稳定性、轨道周期性与回归性等研究方法是动力系统学科研究的思想方法基础。基于G. D.Birkhoff三体问题遍历性定理的研究,而最终发现的描述哈密尔顿系统解的稳定性的KAM理论是动力系统理论的里程碑式的工作之一。在无穷维的偏微分方程系统中,KAM理论也得到了深入研究。

在通常的动力系统课程中,主要讲授以下一些基本内容:非线性微分方程系统的混沌吸引子、映射迭代与不变集、分形、拓扑动力系统,结构稳定性,Hartman定理,稳定流形定理,双曲集,Markov分割等。

我国北京大学动力系统学派,以及其它一些著名大学与研究机构的数学家在动力系统领域取得了具有世界水平的开创性工作。Fields奖与Wolf奖获得者中的V. I. Arnold,A. N. Kolmogorov,Elon Lindenstrauss,C. T. Mcmullen,J. K. Moser, S.P. Novikov,Y. Sinai,J. C. Yoccoz等著名数学家在动力系统领域做出了巨大贡献。

几何分析是大范围分析的重要分支,以几何问题的分析方法与分析问题的几何背景之交融研究而著称于数学界。特别是几何分析领域的一系列辉煌成就使得几何分析拥有了已经独立于大范围分析的特殊学术地位。世界著名华裔数学家、Fields奖及Wolf奖获得者丘成桐教授的研究工作奠定了几何分析的根基性学术地位,而且为偏微分方程方法应用于拓扑与几何的世界级猜想问题的解决开辟了先河。“千年数学难题”百万美元征解七大问题之一的庞加莱猜想的解决就归功于几何分析的无限力量。 

庞加莱猜想是法国数学家庞加莱于二十世纪初提出的著名拓扑学问题:如果一个封闭空间中所有的封闭曲线都可以收缩成一点,那么这个封闭空间一定是一个三维的圆球。鉴于俄罗斯数学家佩雷尔曼对解决庞加莱猜想的巨大贡献,2006年国际数学家大会把数学最高奖Fields奖授予了佩雷尔曼,但是却遭遇了拒绝接受的尴尬状况。

在近百年的拓扑学方法无望于解决三维庞加莱猜想之际,Fields奖获得者瑟斯顿(Thurston)当时引入了几何结构的方法对三维流形进行切割,使得庞加莱猜想的解决出现了希望的曙光。后来美国数学家理查德?汉密尔顿,受到丘成桐用非线性偏微分方程方法解决卡拉比猜想工作的启发,运用以意大利数学家里奇(Gregorio Ricci)命名的Ricci流方程,对三维流形进行构造几何结构的拓扑手术,使得解决三维庞加莱猜想的进程更加本质性地迈进。在接近解决庞加莱猜想的近距离时刻,Ricci流进行空间变换时出现的奇点这一解决庞加莱猜想的重大障碍出现了。在关键时刻,俄罗斯数学家佩雷尔曼凌空出世,以八年独门功力,用三篇非正式期刊论文的方式,一举撼动百年难题庞加莱猜想,随之世界一流的相关数学家“众人捧材”,以至于彻底宣布庞加莱猜想被正式解决。显而易见,解决百年难题庞加莱猜想的科学意义是无比重大的。几何分析方法也由此无比荣耀。

中国几何分析数学家们的研究工作和研究队伍都在国际同行中产生了积极影响。

关于大范围分析的数学著作推荐如下:

(1) D. W. Kahn, Introduction to Global Analysis, 1980。

(2) 张锦炎、钱 敏,微分动力系统导引,1991。

(3) R.Clark Robinson, An Introduction to Dynamical System:Continuous and Discrete, 2004。

(4) R.Schoen and S.-T. Yau, Lectures on Differential Geometry, 1994。

(5) D. W. Stroock, An Introduction to the Analysis of Paths on a Riemannian Manifold, 2000。


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