参考以下两篇文章确定等温球的临界质量

Tafalla et al（2004）：Tafalla, M., Myers, P. C., Caselli, P., & Walmsley, C. M. 2004, A&A, 416, 191

Li et al（2007）：Li, D., Velusamy, T., Goldsmith, P., et al. 2007, ApJ, 655, 351

Bonnor(1956)和Ebert（1955）中指出，等温球的半径超过值后，变得不稳定啦，会因为内压力小于引力而塌缩。Tafalla（2004）中指出处于临界状态的等温球，中心密度与边缘密度之比大约是14.0。极限半径采用无量纲的$\xi$ 的形式，可以写成：

$\xi =r\sqrt{4\pi G{\rho }_{0}/{\sigma }^{2}}$ (1)

G是万有引力常数

等温球的临界半径:${\xi }_{max}=6.45$

$\sigma$是等温声速（${\sigma }^{2}=kT/\mu m$） 参考《Accretion Processes in Star Formation》第43页，给出的$\mu=2.3$假设T=20K，m是一个氢原子的质量，$\xi ={\xi }_{max}$,以及云核的半径r，可以求出$\sigma$

假设云核是临界球，将从天图中提取出来的云核半径代入式子（1）中，可以求出来中心密度${\rho }_{0}$

Tafalla et al（2004）给出来了密度轮廓的近似分析解

$\rho (\xi )=\frac{1}{1+{(\xi /2.25)}^{2.5}}$ (2)

对（2）进行积分可以得到云核的临界质量

${M}_{c}=\int_{0}^{{r }_{max}}\frac{{\rho }_{0}}{1+{(\xi /2.25)}^{2.5}} 4\pi {r}^{2}dr $

${r}_{max} =\frac {{\xi}_{max}}{\sqrt{4\pi G{\rho }_{0}/{\sigma }^{2}}}$

当然积分的上限也可以选择为：中心密度与边缘密度之比为14.0的时候的半径：${\xi }_{14.0}$