Zmn-1201 余月半 : 所有的自然数 VS 数到的自然数 ； 错误的理解，得到莫名其妙的结果！！

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所有的自然数 VS 数到的自然数 ； 错误的理解，

得到莫名其妙的结果！！

余月半

首先，讲一下皮亚诺公理；

皮亚诺公理，描述的是一个什么样的世界呢 ？

他讲的是，我有一些对象，这些对象之间有一个二元关系R(a,b)，这个二元关系简称为b是a的后继；

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注意，研究皮亚诺公理的时候，不要把里面的 0，自然数 ，跟我们平常所说的 0，自然数混淆 ；

它里面的0，不是特指我们平常所说的0，自然数，也不是特指我们所说的自然数，后继，也不是特指 自然数的 + 1 ；

为了不混淆，0我用r代替，“自然数”我用“研究对象”代替

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一、r是研究对象

这句话的意思是，研究范围内有对象存在，其中某个对象用 符号 r 表示 ，当然，这个 r 具体指哪个对象呢，还没有明确做要求，它可以指其中的任何一个

二、每一个确定的研究对象a，都具有确定的后继a'，a'也是研究对象‌

这句话什么意思？这句话讲的是，对于研究范围内的任意一个对象 a, 都存在，且仅存在一个 对象b ，b是a的后继，也即满足R(a,b) , 这个b记作a';

三、r不是任何研究对象的后继

这句话对公理一里面的r，做了要求，它不允许是其他研究对象的后继

四、两研究对象相等，当仅当他们的后继相等

这句话简单了，就不表述了，

五、归纳法

这句话，简单的表述就是说，从r开始，去一个一个的数后继，那么，每一个对象都会被数到

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举个简单的对象/关系 的例子：

想象一下，有一个班级，里面有若干个学生，这些学生就是我们所研究的对象；

这些学生的座位靠在一起，称为同桌，这同桌就是我们研究的二元关系： 用R(a,b)表示 b是a的同桌

如下所示:

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张三|李四      王五|赵六       孙七|钱八

周上|吴下      郑东|徐西

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我们用这个例子，去对比一下皮亚诺里面的几条公理

一、r是研究对象

很明显了，我们的研究范围内，是存在对象(学生)的，这个r，可以指其中的任何一个

二、每一个确定的研究对象a，都具有确定的后继a'，a'也是研究对象

也很明显了，在这里，每一个学生，都有，且仅有一个同桌

三、r不是任何研究对象的后继

这个就没法子了，在这里面，找不到符合条件的学生，所以这个例子，它不满足这条公理

四、两研究对象相等，当仅当他们的后继相等

在这个例子里面是满足的，可以简单的验证一下

五、归纳法

没得说，在这个例子里面，连r都找不出来，自然不满足这个了

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所谓的皮亚诺公理里面的五条公理，实际上是五条规则，它是限制在一个   研究对象V，以及对象之间的二元关系R的规则

我们可以举出很多 对象~关系(V~R)的例子，然而，很明显，V~R 是否满足这五条规则，不一定，有的例子满足这些条件，有的例子不满足这些条件

研究对象范围 ： 实数范围

关系：

1、如果a是负整数，那么a的后继定义为a-1；

2、如果a是其他的，那么a的后继定义为a+1;

在这个定义之下，可以验证，这个满足前四条公理；

特别的满足条件的r，具有两个, 0和-1，但是无论取哪个为r，都不满足公理五

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好回到主题，有些人对皮亚诺公理的错误认知

对于研究对象的错误认知；

以我们普通的自然数为例子，那么研究对象就是 所有的自然数 ，a的后继就是a+1；

但是有的人，对于研究对象的概念有偏差，他认为所研究的对象范围是通过后继“得到”的，“新生成的”，

首先，他的研究范围内，什么都没有  ；

公理里面要求有个0，这时候，他就在他的研究范围内，加入一个0； 他的研究范围内就仅有一个 0 ；

公理说，0要有后继，那么他就在这个范围内，增加一个0的后继1；这时候，他的研究范围内就两个 0，1

同样的，1也需要有后继，那么他就在这个范围内，增加一个2，这时候，他的研究范围内就有了三个 0，1，2

......等等......

他的研究对象，是不确定的，依赖于数数，从0开始数数，数到谁，谁就纳入他的研究范围，数到10，那么他的研究范围就是 0~10，那些没有数到的就暂时不纳入研究范围内，等数到了再把它纳入到研究范围内；

也就是说他嘴里的自然数集，并不是指“所有的自然数”，而是指，数到的自然数，他数到5，那么他所指的自然数集，指的就是 {0,1,2,3,4,5},数到10，那么他所指的自然数就是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};他就会得出自然数集合不唯一的这个结论，实际上指的是他所 数到的自然数集合不唯一；

他表述的自然数集合N，指的是 从0开始，数到某个数 k ；这个集合 {0，1，2...，k}，

集合N1，指的是从 1 开始数到某个自然数 k ; 这个集合 {1,2,...k};

我们所说的自然数集合N，指的是包含所有的自然数集合，而不是指从0数数，数到k而数到的集合  {0，1，2...，k}

所说的正整数N1，指的是包含所有的正整数的集合，而不是指从1数数，数到k而数到的集合  {1，2...，k}

他曲解这两个集合的概念，从而得出莫名其妙的结论

至于他所说的 k-->∞，恕我直言，四不像， --> 这个符号，既不是命题里面的p-->q; 也不是极限里面的写法，一个四不像的东西

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正确的说法是这样的

公理里面要求有个0，我这个范围里面就有这个 0 ；

0要有后继，我这个范围里面就有这个0的后继1 ；

1也要有后继，我这个范围里面就有这个后继 2；

.......等等........

所需要的对象，都在我的研究范围之内，

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简单的讲，正确的思维是，我有一些研究对象，这些研究对象满足皮亚诺公理里面的五条规则；

但是 有的人错误理解这五条规则，认为是缺啥补啥，

他什么都没有，起码没有0是吧，好，那我就再加一个 0；

当然了，这样还是不满足条件，好，那就再加一个1；

当然了，这样还是不满足条件，好，那就再加一个2；

。。。。。。。

他像通过这种缺啥补啥的方式是适应五条规则，

当然，按照这种缺一个补一个的方式，无论补到哪个数字，他都不满足这五条规则

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