Zmn-1105 一阳生 : 数学归纳法原理无法有效证明所谓公理五，评薛老师的《Zmn-1103》

【编者按。下面是师教民先生的评论文章。是对薛问天先生的《1103》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

数学归纳法原理无法有效证明所谓公理五，

评薛老师的《Zmn-1103》

一阳生

文老师 下面我的文章请求转发薛老师和在专栏发表，谢谢！

一、关于您用数学归纳法证明所谓公理五。

我们来做思想实验。设P(k)为【自然数k可由0经有穷次的后继运算而得到】。在证明之前，我们分两种情况考虑公理五。这种做法和考虑是合理的不违反逻辑。

第一种情况，公理五确实成立，事实上成立。薛老师在主观上也认为其成立。然后应用归纳法，在假设公理五成立条件下，证明了 ∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）。进而证明了 公理五成立。

第二种情况，公理五确实不成立，事实上不成立。但薛老师不知道其不成立，主观上还是认为其是成立的。结果薛老师在假设其成立条件下，依然证明了 ∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）。因为薛老师不认为其中有一个k，使P(k) 真，P(k’)假，使得∃k（P(k) ⇒ P(k’)）不成立。进而不知道也不认可∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）客观上是不成立的。

薛老师在这两种情况的证明中不能用有穷步推理方法。即P(0)真推出P(1)真、P(1)真推出P(2)真、P(2)真推出P(3)真、…、P(n-1)真推出P(n))真。因为我们尚且不知道后继运算能否穷尽所有的自然数，这种方法也不须要假设后继运算能够穷尽所有自然数。该方法只是在无休止的验证中。薛老师只能在假设后继运算能够穷尽所有自然数的条件下，对于某一般性的k即任一k ，证明（P(k) ⇒ P(k’)）是否成立。在第二种情况下薛老师在主观上发现不了k也不认为存在k，使得∃k（P(k) ⇒ P(k’)）不成立。

通过这个思想实验，我想薛老师应该能够认识到：如果承认后继运算能穷尽所有自然数，那么您就能用数学归纳法证明所谓公理五（公理五就等于后继运算能穷尽所有自然数）。如果不承认所谓公理五，数学归纳法客观上就证明不了公理五。比如【我本人不承认公理五，在此前提下，我确实用数学归纳法证明不了公理五成立】，这是我的事实，薛老师否认不了。

也就是说，数学归纳法原理无法有效证明所谓公理五。

二、举有穷性质的例子来反映说明潜无穷性质

薛老师说没有看懂，为什么在所有的k中，∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）。会存在某一个蕴含，他的前提为真，结论为假，从而导致∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）不成立。

我来举个吃饭的例子，让P(n)取值吃n碗饭。薛老师一顿饭吃了第一碗饭P(1)后还能吃第二碗P(2)，吃了第二碗饭P(2)后还能继续吃第三碗P(3)，但吃了第三碗饭P(3)后吃不下第四碗饭P(4)了，既然吃不下第四碗饭P(4)也就吃不下第五碗饭P(5)，既然吃不下第五碗饭P(5)也就吃不下第六碗饭P(6)…。

把吃饭过程转化为一系列蕴含关系之间的的合取关系（ P(0)⇒ P(1)) ∧ （P(1)⇒ P(2)) ∧ （P(2)⇒ P(3) ) ∧ （ P(3)⇒ P(4)) ∧ （P(4)⇒ P(5)) ∧ （P(5)⇒ P(6) ) …。

可见前面3个蕴含都是真的（前提结论都真），从第5个蕴含开始包括后面的所有蕴含都是真的（前提结论都假）。而他们之间的第4个蕴含 （P(3)⇒ P(4)），前提真结论假。最终结果导致了∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）为假！

当然在潜无穷假设下，让P取值潜无穷的性质。处于前后面两部分之间的某个蕴含∃k∈N（P(k) ⇒ P(k’)），P(k) 真 P(k’)假，他的k会以潜无穷的方式处在增大中。k不会是0、1、2等这些可以举出具体数值的自然数，k无法具体构造出来，但却是存在的。

三、关于所谓第五公理。

我是说命题【每个自然数都可由0经有穷次的后继运算得出】反直觉反逻辑。该命题告诉我们自始至终都是【有穷次】的后继运算，却运算出了或对应了全部【无穷个】自然数。而【一次】运算和【一个】运算结果之间是严格对应的。

我说该命题反直觉反逻辑，是说该命题是错误的。根据严格的对应，由0开始自始至终都是【有穷次】的后继运算只能得出【有穷个】自然数，得不出全部的自然数。

请认真回应这个质疑，不要回避！不要顾左右而言他！

四、关于我对数学归纳法的证明。

您说：“他没写全，写全应是对任何自然数n，可由P(0)为真和【由蕴含关系之间的合取关系（ P(0)⇒ P(1)) ∧ （P(1)⇒ P(2)) ∧ （P(2)⇒ P(3) ) ∧ …∧ （P(n-1)⇒ P(n))为真。】推出【全部合取关系P(0) ∧ P(1) ∧ P(2) ∧ P(3)…∧ P(n)为真。】。”

看到您这样写让我大感意外。您这样写，导致这些蕴含的个数就不是全部无穷个了，而是n个，是有限个。导致P(0) 这些的个数也不是全部无穷个了，而是n个，是有限个。

您是故意如此做的，想为您的有穷步推理和所谓公理五，找到适应条件。

果然接下来您说：“要完成这个推论必须要根据【公理五: 任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到】。如果自然数n不可由0经有穷次的后继运算而得到，你这个推论是完成不了的。”

我没有进行有穷步的推论，也不须要所谓公理五。因为数学归纳法的前提之一是在假设下，已经证明了所有的k， ∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）真。在排除掉存在P(k)为假之后，根据蕴含的等价形式∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）为真等价于P(0) ∧ P(1) ∧ P(2) ∧ P(3)…为真。其中P(0)、P(1)、P(2)、P(3)等这些是全部无穷个，不是有限个。

有穷步的推理虽然有可能(也只是有可能而已)证明有穷个k （P(k) ⇒ P(k’)），但是绝对证明不了无穷个k ，∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）的。

五、关于【后继数】与【后继运算】的异同。

薛老师要知道，皮亚诺公理和自然数的集合论定义中的【后继数】概念，不等同于由其延伸出来的【后继运算】概念。他们不完全相同。不同点在于：每个自然数都有后继数，而后继运算不能穷尽每个自然数。后继数概念反应了对象之间静态的关系，而后继运算概念反应了对象之间动态的行为。

您说：“…而(3)就是【公理五:…。” 您把这两个概念完全等同是错误的。

六、关于您归纳证明向后归纳原理中的错误。

根据您对向后归纳的理解和归纳证明思路，我来重新梳理一下证明过程。

定理(向后归纳原理)。设P(m)是一个依赖于自然数的性质，它满足条件：对于任何自然数m，只要P(m+1)成立则p(m)也成立。设n是任意自然数，且假设P(n)成立，证明对于一切自然数m ≤ n，P(m)都成立。（此为您对向后归纳的理解，这是错误的。）

定义Q(n)为【对于一切自然数m ≤ n，P(m)都成立。】对n进行归纳。

当n=0时，若P(n)成立即若P(0)成立，则Q(n)成立即Q(0)成立。

假设对于任一自然数n，若P(n)成立，则Q(n)成立。（要证明蕴含关系成立，只须证明前提成立时，结论也成立即可。）

对于n+1，我们只须在假设的条件下，证明P(n+1)成立即可。

只要在假设下证明了P(n+1)成立，根据假设就会有【对于n+1，若P(n+1)成立，则Q(n+1)成立。】。进而假设成立。

显然在此时产生了一个无解的问题：如何在假设下证明P(n+1)成立？薛老师要注意必须在假设条件下证明！脱离假设，其他证明导致P(n+1)成立的，就是违反数学归纳法的证明要求，就是错误且反逻辑的证明。

我证明不了。根据P(n+1) ⇒ P(n)，若P(n)成立，则推不出P(n+1)成立。

但是薛老师根据自己对向后归纳的错误理解，直接根据【设n是任意自然数，且假设P(n)成立，】导致了P(n+1)成立。在脱离了假设的条件下，根据其他条件使P(n+1)成立。

薛老师根据P(n+1) ⇒ P(n)，继续证明了若P(n+1)成立，则P(n)成立。进而由假设证明了Q(n)成立。由P(n+1) 成立和Q(n)成立，导致了Q(n+1)成立。

P(n)的成立和Q(n)的成立，理应完全是根据假设成立的。上面的一步证明中，对P(n+1) ⇒ P(n)的使用完全是多余的。表面上看使用到了，实际上完全使用不到。P(n+1) ⇒ P(n)对证明没有发挥任何作用。不光是多余的，用P(n+1) 成立，来证明P(n)成立，也违反了归纳证明的要求。正确的为：用P(n) 成立，来证明P(n+1) 成立。

薛老师的【设n是任意自然数，且假设P(n)成立。】，当然就是假设了∀n∈N P(n)成立。若假设了∀n∈N P(n)成立，当然对于其中一部分的自然数∀m∈[0,n]，有P(m)成立。这不就是毫无必要与毫无意义吗！

究其原因在于薛老师对于向后归纳原理产生了错误理解，导致正确的证明思路无法进行下去，不得不用错误的证明思路去迎合错误的理解。

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