Zmn-1100 一阳生 : 对数学归纳法的补充证明兼评价薛老师的《Zmn-1099》

【编者按。下面是一阳生先生的文章，是对薛薛问天先生《Zmn-1099》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

对数学归纳法的补充证明

兼评价薛老师的《Zmn-1099》

一阳生

一、对所谓第五公理的质疑，和第五公理导致【有穷】概念不同一的问题。

看到薛老师把命题【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到】放在公理的位置上。我想知道把该命题作为公理出自哪本教科书和哪位权威人士？又或者是薛老师本人的作为？请薛老师给出答案！

该命题被薛老师作为公理，让人担心如果有人提出质疑，薛老师会以该命题是公理而不证自明、毋庸置疑为由拒绝答复。

不仅是我本人，相信诸多学者均会质疑该命题是否真的成立。所以薛老师仍须回应下面的质疑！

一次运算得出一个结果对象，这是一种严格的一次运算与一个结果的对应。而根据该命题，自始至终都是【有穷次】的运算却对应了或运算出了【无穷个】结果。运算在此指后继运算，无穷个结果在此指无穷个自然数。如此反直觉反逻辑的命题薛老师为何深信不疑？请认真回答！

在承认命题【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到】或【任一自然数n都可由0经n次后继运算得到】成立的条件下，薛老师关于数学归纳法的证明是没问题的。当然我是不承认该命题的。

把命题做一下变形，变形后的命题等于是给予【有穷】概念一个确切的定义了。命题可变形为【有穷的自然数是指，可由0开始经(连续不终止的)后继运算得到的自然数。】

在我们以前的讨论中，您认为【有穷】概念是靠经验理解的，无确切定义的原始概念。面对前后不同一，薛老师作何解释？

二、对数学归纳法的补充证明。

对于数学归纳法的证明，我证明的根据是：蕴含关系的真值定义及其等价形式和合取关系的真值定义。

在假设所有的自然数都具有性质P的条件下，证明了 ∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）真，即是证明了一系列蕴含关系之间的合取关系（ P(0)⇒ P(1)) ∧ （P(1)⇒ P(2)) ∧ （P(2)⇒ P(3) ) ∧ …为真。

已经证明了P(0)为真，若存在k∈N P(k)为假，则在一系列蕴含关系的合取关系中必然存在某一个蕴含关系P(k-1)⇒ P(k)，其前提P(k-1)为真、结论P(k)为假，其中k的具体取值可处于变化之中。从而导致 ∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）不真和一系列蕴含关系之间的合取关系不真。这与其在假设下被证明为真矛盾。所以在假设条件下和P(0)为真条件下，不存在k∈N P(k) 不真。

所以证明了一系列蕴含关系之间的合取关系为真，根据蕴含关系的等价形式，即是证明了全部合取关系（P(0) ∧ P(1)）∧（P(1) ∧ P(2））∧（ P(2) ∧ P(3））∧（ P(3) ∧ P(4）) …为真，即P(0) ∧ P(1) ∧ P(2) ∧ P(3)…为真。

在假设所有的自然数都具有性质P的条件下，证明了上面的全部合取关系为真，根据合取关系的真值定义，即是证明了对于每个自然数k，P(k)为真。

但是根据反证法的内涵，假设P真(假)，若在假设条件下证明了P假(真)或其他矛盾，则可反证P假(真)。假设P真(假)，若在假设条件下证明了P真(假)或无其他矛盾，则无法真正证明P真(假)。因为这是属于无效的循环论证。

显然上面的论证是在假设性质P具有普适性的条件下，证明了性质P具有普适性。这是无效的循环论证。所以论证不能到此为止，还须继续下去。

在假设条件下，证明了对于每个自然数k，P(k)为真，即是证明了任两个自然数之间的合取支是同真的、都真的，如0与任一自然数k之间的P(0)与P(k)是同真都真的。

P(0)为真，是在无附加假设条件下的、确定的为真。由于P(0)与任一k∈N P(k)之间是同真都真的，所以在假设条件下，由于P(0)确定为真，可知任一k∈N P(k)都是确定为真！

上面是经过细节完善的证明数学归纳法的过程，相信薛老师挑不出毛病。

三、不具有普适性的性质举例。

虽然我们认为所有的自然数都是有穷的，但是我们能够具体认知的、具体定义的、可举出具体实例的自然数是极其少的。剩下的绝大多数的自然数虽然存在，但都是不可被具体认知的。（设n是自然数，n可代表任一自然数，这不叫对任一自然数的具体认知。）

把性质P定义为：可被具体认知。 如果应用数学归纳法：【P(0)可被具体认知，在假设所有自然数n都可被具体认知的条件下，我们是可以做到n的后继数n’能被具体认知的。然后得出结论，我们可以具体认知所有的自然数。】显然我们都知道结论在客观上是错误的。

把性质P定义为：可由0开始经后继运算而得到。如果应用数学归纳法，得出的结论客观上同样是错误的。（我认为把可由0开始经后继运算得到的自然数，称呼为可被具体认知的自然数，是合适恰当的。）

把事实上不具有普适性的性质，特别是把与潜无穷概念相关的性质，应用到数学归纳法，会得出性质具有普适性的错误结论。因为我们在试图证明∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）为真的过程中，客观上必然会存在某个蕴含（P(k) ⇒ P(k’)），其前提客观上为真，结论客观上为假。其中k的取值在我们的具体认知之外，而且还可能一直处于变大之中，k是无法举出具体数值的。如果我们没有意识到该蕴含的存在，则很容易犯【把客观上不成立的∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）误认为是成立的】错误。

通常犯这种错误都是难以自知的，希望薛老师能够意识到！所以我把假设性质P具有普适性，作为应用数学归纳法过程中的单独一步提出，是提醒大家谨慎应用数学归纳法。

四、对薛老师的向后归纳证明和有穷步推理方法的评价。

关于强归纳，看了您的证明，确实是我对于题意理解出现了错误。我是把Q(n)当作已知条件，去证明P(n)为真。而强归纳的本意是已知蕴含关系Q(n)→P(n)，通过证明Q(n)为真来证明P(n)为真。

关于向后归纳，根据题意和您的证明，已知条件是(P(m+1)⇒ P(m))成立和对∀n∈N P(n)成立。关于蕴含关系(P(m+1)⇒ P(m))，您在归纳证明过程中完全没有使用到。不过即使知道(P(m)成立，您也无法根据蕴含关系得出P(m+1)成立。关于∀n∈N P(n)，您的使用方式为：对于0、n和n+1，您都直接认为P(0)、P(n)和P(n+1)成立。既然已知或假设了∀n∈N P(n)，当然对于其中一部分的自然数∀m∈[0,n]，有P(m)成立。如果向后归纳以证明此结论为目的，则是毫无意义与毫无必要的。所以我不得不对向后归纳产生自己认为正确的理解，并对m进行归纳。

我本人是同时持有实无穷观与潜无穷观的，两者之间是和谐相容的。我不认可您的所谓第五公理，对于任意两个自然数m和n，且m较小，m通过后继运算【未必】能够达到或得出n。所以我在强归纳与向后归纳中都应用了归纳证明方法，而不是有穷步推理的方法。

文老师，下面的一篇补充论证请求附在我《Zmn-1100》文章的下面，并转发薛老师。谢谢！

     对我《Zmn-1100》文中一处论证进行补充完善

关于我本文中的表述【因为我们在试图证明∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）为真的过程中，客观上必然会存在某个蕴含（P(k) ⇒ P(k’)），其前提客观上为真，结论客观上为假。其中k的取值在我们的具体认知之外，而且还可能一直处于变大之中，k是无法举出具体数值的。】。我感觉不够详细准确。下面的表述会更加详细准确一些。

在同时承认实无穷和潜无穷相关概念存在的条件下，和让P取值潜无穷相关的性质时。我们在试图证明∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）为真的过程中，即试图证明一系列蕴含关系之间的合取关系（ P(0)⇒ P(1)) ∧ （P(1)⇒ P(2)) ∧ （P(2)⇒ P(3) ) ∧ …为真的过程中。可验证发现这一系列蕴含关系中的排在前面部分的蕴含（P(k) ⇒ P(k’)），其前提结论都是真的，该部分蕴含都真。其中k的取值处于可被具体认知(指可由0经后继运算达到)的范围内。

在这一系列蕴含关系的后面部分的蕴含中，k处于不可被具体认知的范围内，我们必可推断出该范围内的蕴含（P(k) ⇒ P(k’)），其前提结论均为假，从而该部分的蕴含均为真。

由于每个自然数都有与之相邻的数。所以必可推断出这前后两部分的蕴含之间必然存在一个处于中间位置的蕴含（P(k) ⇒ P(k’)），其中P(k)为真，P(k’)为假，k可被具体认知，而k’不可被具体认知。这种奇妙的中间位置的存在，必然说明k处在可被具体认知的边缘，并以潜无穷的形式不断增大中。

所以∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）必然为假！ 我们可定义何为【相邻】：自然数n的相邻数为n-1或n+1。可证任一自然数n都有相邻数。

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