Zmn-1075 薛问天 : 方程是方程，函数是函数，含义不同。评新华先生的《1074》

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方程是方程，函数是函数，含义不同。

评新华先生的《1074》

薛问天 

xuewentian2006@sina.

一，为了集中精力，我们只讨论二个变元的方程F(x,y)=0同函数的关系。其它的方程可暂不讨论， 既然含有无知数的等式叫方程，那么我们讨论的方程就指含有两个变元的等式。

二，新华先生对于函数的表述，我认为是正确的。我认为只需补充一句，那就是有关函数关系【 自变量在其定义域中取任意一个值，因变量的值域中有且只能有唯一的一个值与之对应。】这在数学中称之为【映射】。亦即滿足单值条件的关系称为映射。这在数学中有严格的定义。

另外，新华先生说的这句话【 习惯都是用自变量函数表达式来表示因变量】，我要请先生注意，严格地说，函数关系即映射，不一定都能用表达式来表达。不要由此引起误会，以为所有的映射关系都能用表达式表达。

显然，值得肯定的是，新华先生明确表明函数关系是【映射】不是【双射】即不是【一一对应】。同时也认为自变量和因变量是函数中定义所决定的，不同意那些认为【 所谓自变量和因变量，都是擅自地、主观地、人为地假设的，并且既可以假设x为自变量或因变量，又可以假设y为自变量或因变量．】【变量x，y地位相同，权力均等，谁也不比谁更突出、更特殊、更优越．所以它们的取值完全同时，根本不分先后，只是一一对应！】等错误的观点。

三。新华先生说【 对于一个具体含有未知数的等式，究竟是方程，还是函数，那就要具体情况具体分析。 】是如此，关键是要怎么分析，得出怎样的结论。我们当然承认，任何一个函数的表达式，如y=2x-3，可以看作是一个方程。因为这是一个等式，当然可以看作是一个方程。问题是你把它看作是一个方程式和看作是一个函数表达式，它们的含义是否完全相同，有无差异？我认为有明显的差异。如果你把它看作是一个函数表达式，那它表达的是一个确定的函数，如果你把它看作是一个方程式，那它表达的就是一个方程。方程当然同函数是不同的概念。函数y=2x-3是一个以x作自变量y作因变量的函数，但方程y=2x-3，就是一个等式。除了可以给定已成为显函数的隐函数y=f(x)以外，还可以给出另一个隐函数x=g(y)。新华先生己经写出它的显形式x=(y+3)/2。再例如作为函数的y=x^2，是一个以x作自变量y作因变量的函数，但作为方程的y=x^2，除了给定了已成为显函数的隐函数y=f(x)以外，还可以给出另外两个隐函数x=g1(y)和x=g2(y)。它的显形式是x=√y，x=-√y。

可見，对于一个具体含有未知数的等式，如果既可看作是方程，又可看作是函数時，那就要具体情况具体分析。你把它看作是方程和看作是一个函数，在含义上还是有差异的。不可含混。

四，关于显函数和隐函数的概念，我认为不必过分认真地追究它们的严格数学定义。只要明确它们都是函数，只是用不同的表示方式表示的就行。数学教材中的这段话希望引起大家的注意。菲书在谈到显隐函数时说:  【读者当能明了，这些术语仅叙述函数y=f(x)的表示方式，而並未涉及它的性质。】而且后面又明确地说【严格地说，函数的隐示式和显示式的对立性仅当显示式被理解为显的解析表示式时始能显得十分明确；不然，若把按任何规则[45]所给定的函数都看作显函数，则借助于方程(1)以确定y是x的函数并不劣于其它任何方法。】

这段话明确说明显函数隐函数的提出并末改变【函数】的性质，不是新的数学概念，而只是表示方式不同而已。

显然也请新华先生注意，恐怕仅把显函数说成是【 显函数的特征是因变量与自变量剥离，只用 自变量来表示因变量，】可能不妥。关于显函数书中也明确说明【 仅当显示式被理解为显的解析表示式时始能显得十分明确】，不能把定义函数时的【 任何规则所给定的函数都看作显函数】。

另外，新华先生说【 y-2x+3=0 既可以看成二元一次方程，又可以看成隐函数。】这个我认为不正确。因为隐函数的定义写得相当清楚，是把方程【给定的函数】称为隐函数，而不是把方程本身称为隐函数。因而不能把方程y-2x+3=0看成是隐函数。说【 可以用F(x,y)=0 的形式来表示 隐函数】是对的，它只是说隐函数y=f(x)，或x=g(y)，是由方程 F(x,y)=0给定的，或表示的。绝不能说隐函数就是此方程。方程连哪个变量是此函数的自变量都说不清楚。一个方程可给出多个隐函数，你说是哪个隐函数是此方程，如果指定一个，其它隐函数又该怎么看待？

五，新华先生说【 对于某些方程，虽然不符合函数的条件，但是可以表示成F(x,y)=0 的 隐函数形式，】这个话是错的，书中隐函数的定义说得很清楚，是把方程给定的函数称为隐函数，当然隐函数，即这个方程给定的函数必须是函数。要滿足函数的条件。不滿足函数的条件，它就不是方程给定的隐函数，怎么能说它是【可以表示成F(x,y)=0的隐函数形式】？我们研究隐函数一定是在它是滿足函数的条件的假定下研究的。当然所提供的隐函数的求导方法也必须要有这样的假定，而且还要假定这些隐函数是可导的。在理论上论证方程F(x,y)=0所给定的隐函数y=f(x)和x=g(y)的求导方法是这样的。

假定要求隐函数y=f(x)的导数dy/dx，是把方程F(x,y)=0的等式两端都看作是由y作为中间变量，由x作为最终自变量由 y=f(x)构成的复合函数，然后用复合函数对x求导的方法求导。于是方程x^2+y^2-2x+5y-31=0，两端复合函数对x求导变为2x+2y(dy/dx)-2+5(dy/dx)=0，得(dy/dx)=(2-2x)/(2y+5)

假定要求隐函数x=g(y)的导数dx/dy，是把方程F(x,y)=0的等式两端都看作x作为中间变量，由y作为最终自变量，由x=g(y)构成的复合函数，然后用复合函数对y求导的方法求导。于是方程x^2+y^2-2x+5y-31=0，两端复合函数对y求导变为2x(dx/dy)+2y-2(dx/dy)+5=0，得(dx/dy)=(2y+5)/(2-2x)

这里需要注意的是，严格地说微分符号应严加区分，隐函数y=f(x)的导数应写为dy1/dx1， 隐函数x=g(y)的导数应写为dx2/dy2。这两个函数导数中的微分dx和dy是不同的微分，不容混淆。

新华先生说【 这个过程实际就是把方程当成函数来处理】。这话不很确切， 不是把方程当成函数，应当说由于方程F(x,y)=0是等式，方程是两端二元函数的等式。所用的原理是对等式的两端函数求导，相等的两端函数相等，所以它们的导函数仍然相等。不是对方程求导，方程没有导数，而是对方程两端的函数求导。只有函数才有导函数。

利用此方法对隐函数求导，是因为隐函数y=f(x)和x=g(y)代入F(x,y)后形成的复合函数仍然等于0，即F(x,f(x))=0和F(g(y),y)=0，然后用复合函数求导的方法，求出隐函数的导数dy1/dx1和dx2/dy2。

新华先生说【 通过“函数”加上一个字 “隐”，就把函数和方程揉合(融合)在一起，形成新的函数概念，】显然言过其实。隐函数并不是什么新的函数概念，只不过指的是函数的表示方式不同而已，奉劝新华先生理解菲书中的这段话【读者当能明了，这些术语仅叙述函数y=f(x)的表示方式，而並未涉及它的性质。】

 至于新华先生的这个结论【 因此方程与函数也就没有严格区别了。隐函数F(x,y)=0 既是函数也 是方程，只是在不同的场合称呼不同而已。】当然是错误的。函数和方程当然是两个有严格区别的概念不可混同，隐函数指的是方程F(x,y)给定的函数不是方程本身，这是非常明确的概念，为何要将其混为一谈。

六，新华先生说【 同一表达式，在不同条件下表达的含义就不同， 不能因为习惯而形成定向思维，造成理解错误。】对此我并无不同意見。例如在(三)中所说， 任何一个函数的表达式，如y=2x-3，可以看作 一个函数的表达式，也可以看作是一个方程式。因为这是一个等式，当然可以看作是一个方程式。关键是你把它看作是函数和看作是方程时【 表达的含义就不同】。 你把它看作是函数时，它表达的是一个确定的函数。 看作是方程时，它表达的是一个方程，这个方程可给定若干个隐函数。

遗憾的是新华先生却由此得出他在前面(五)中说的错误结论【方程与函数的初级定义存在区别，当隐函数的引入，就 把它们融合在一起，函数与方程的意义就没有特殊区别，只是在不同地方称呼不同而已，在一定条件下，方程就是函数，函数就是方程的理解是完全可以的】

函数的数学定义，不分初级和高级，引入隐函数并未改变函数的定义。 函数与方程的意义仍然有很大区别。关键是定义说得很清楚，是把【方程给定的函数】称为隱函数，而不是把方程称为隐函数。方程同隐函数的最大的区别在于方程F(x,y)=0对变量x和变量y只是提供了一种最一般的【关系】。而它给定的稳函数y=f(x)则要求这个关系必须是变量x对y的【映射】，而另一个给定的稳函数x=g(y)则要求这个关系必须是变量y对x的【映射】，我们从数学上知道这些概念己经非常清楚，映射和关系是不同的概念。【映射】是滿足单值条件的【关系】。并不是所有的关系都是映射。很多方程都是要在变量x和变量y做出某些限制下才能给出它的隐函数，例如那个椭圆的方程可以在不同的变量安排下，给出12个不同的隐函数。

所以说，认为【函数与方程的意义就没有特殊区别】是绝对错误的。

至于说【 在一定条件下，方程就是函数，函数就是方程的理解是完全可以的】，那就看什么条件下以及怎么理解。我己说过，任何一个函数的表达式，如y=2x-3，可以看作是一个方程。但 把它看作是方程和看作是一个函数，在含义上还是有差异的。不可含混。

要是把给定隐函数的方程，说成它就是隐函数，那就是错误的理解。方程是方程，它本身不是函数。是方程所给定的函数是隐函数，不是方程本身是隐函数。

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