Zmn-1004 薛问天 : 不用极限而用连续函数来求函数y =sinx导数。评师教民《1003》。

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对师教民先生的 《1003》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

不用极限而用连续函数来求函数y =sinx导数。评师教民《1003》。

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

1，我在Zmn-0998里说到的这句话：『真实情况是你说的【创立】的理论并未得到业界任何专家的认可．』我現在仍然坚持认为这是正确的。师教民先生说【薛问天先生说的这句话，与实际情况不相符合．】举了5个例子，说明有5个专家【他们都予以认可】。但是这些所谓的【认可】，没有一个是专家正式发表的对关于师教民先生说的所谓【早就创立了不用极限的微积分】的【公元第 1989 年 5 月和公 元第 2007 年 8 月，分别正规出版的专著《微积分之谜新探索》《微 积分之谜与美》 】文章的公开肯定评论。我们能认可的只是专家公开发表的正式评论。没有这些正式的认可文字，我们当然不会承认这就是专家对你所谓【早就创立了不用极限的微积分】的认可。

2，师教民先生没有弄懂，我所说的【不学极限来学习微积分的好方法】，这里的【不用极限】，指的是形式上，字面逻辑上【不用极限】。我所说的【微积分是不可能不用极限的】，指的是在本质上不能不用。这里並没有矛盾。

关于这点，请参阅《 Zmn-1002》。

师先生认为这是矛盾，他说【于是我就推理说：因为【微积分是不可能不用极限的】，所以不用极限的微积分必然错误，】

这样的推理就叫不懂辩证思维。犯了形式主义的错误。

至于师先生只关心这些小问题，如他说【没说到y却有Δy】。这很简单，当写说给定函数f(x)，笔误少写了y，你把它添上，改写成说给定函数y=f(x)时，不就说到了y了吗？师又说【说到了f (x)却没有Δf (x)】，这根本不是问题，Δy就是Δf(x)。这人人都能理解。

关于师先生说【我在我的论文Zmn-0997中说的薛问天先生的没用极限的微积分的好方法不适用于函数y =sinx，而薛问天先生却用Δsin x/Δx在Δx→0时极限回复我，】显然是师先生的理解错误。

师先生所举的例子也不成问题，可以不用极限而只用连续函数来求出函数y =sinx导数。当然这就要求你的连续函数的知识已准备充分。当你已经知道如下定义的函数g1(Δx)和g2(Δx):

当Δx≠0时，g1(Δx)=sin(Δx)/Δx，当Δx=0时，g1(0)=1。

当Δx≠0时，g2(Δx)=(cos(Δx)-1)/Δx，当Δx=0时，g2(0)=0。

而且知函数g1(Δx)和g2(Δx)是连续函数。当然由于你现在实际熟悉极限，你是用极限知识知道g1和g2是连续函数的。但在你没有学极限时，完全可以用连续函数的定义来证明g1和g2是连续函数。我们假定你己做过这样的准备，具有了这样的知识。

那么你就知道，对于函数y=sin(x)求导数时，有：

Δy/Δx=( sin(x+Δx)-sin(x) )/Δx=

((sin(x)cos(Δx) + cos(x)sin(Δx) - sin(x)) /Δx=

((sin(x)(cos(Δx)-1) + cos(x)sin(Δx) )/Δx=

(sin(x)(cos(Δx)-1)/Δx + cos(x)sin(Δx)/Δx=

sin(x)(cos(Δx)-1)/Δx + cos(x)sin(Δx)/Δx=

sin(x)g2(Δx)+ cos(x)g1(Δx)=

g(Δx)是连续函数。

从而导数等于g(0)=sin(x)g2(0)+ cos(x)g1(0)=cos(x)。

在推导中没有用到极限，而只用到连续函数。

3，师教民说不出理由来，就狡辩说【我说的薛问天先生的好方法只是等同于第一代微积分中的一部分，并没有说薛问天先生的好方法【等同于第一代微积分】的全部．而薛问天先生把我的观点擅自改成了【师先生说我提的方法等同于第一代微积分】就不是我的观点了，】

这纯粹是无理狡辩。你明明是这么说的【薛问天先生的好方法就是牛顿、莱布尼茨的无穷小量分析法或第一代微积分定义并求像函数f (x)=x^2这一类的函数的导数时的观点，该观点因为有Δx≠0和Δx=0的矛盾已经被历史淘汰！薛问天先生把这因为有矛盾而被历史淘汰的观点当成自己的好方法当然就错了．】

师先生在哪里说了这是【一部分】，而不是【全部】？

要知道一代微积分【因为有矛盾而被历史淘汰的观点】，是把导数定义为不清楚的dy/dx，在dx≠0的情况下推导出dy/dx=2x+dx，然后又令dx=0，使dy/ex=2x。这里有dx≠0同dx=0的明显矛盾。

我提出的方法的根据是二代微积分把导数定义为增量比Δy/Δx的极限。如果在Δx≠0的条件下Δy/Δx=g(Δx)，而g(Δx)在Δx=0点连续，显然增量比Δy/Δx的极限，等于函数g(Δx)的极限，因为是连续函数，它又等于g(Δx)在Δx=0点函数值，即导数等于连续函数的g(0)。这一切都是有根有据，完全正确，不存在一代微积分中的dx≠0同dx=0的矛盾。师先生所说的【薛问天先生把这因为有矛盾而被历史淘汰的观点当成自己的好方法当然就错了．】当然是完全错误的。

4，关于我说的这段话〖这个用连续函数定义的导数定义是严格证明的等价定义．适用于所有函数．也就是说对任意函数y=f (x)，只要当Δx→0时Δy/Δx的极限存在，就存在连续函数g (Δx)使在Δx≠0时使Δy/Δx=g (Δx).这个连续函数g (Δx)肯定是存在的．例如就令g (Δx)这样定义，在

Δx≠0时令g (Δx)=Δy/Δx，在Δx=0时令g (0)等于这个极限就可以了．显然这个g (x)就是连续函数．〗

师先生有一些提问，我答复如下。

问: 【薛问天先生说的【定义的导数定义是严格证明的等价定义】的语句是否通顺？与谁等价说清楚了没有？】

答: 我说的是〖这个用连续函数定义的导数定义是严格证明的等价定义〗。

当然通顺。这个用连续函数定义的导数定义，是同那个在通常书上写的用极限概念定义的导数定义，等价的定义。

问: 【【函数g (Δx) 使在Δx≠0时使Δy/Δx=g (Δx)】、【令g (Δx)这样定义】的语句是否通顺？】

答: 我说的是〖只要当Δx→0时Δy/Δx的极限存在，就存在连续函数g (Δx)使在Δx≠0时使Δy/Δx=g (Δx).〗这很通顺。

我说〖例如就令g (Δx)这样定义，在Δx≠0时令g (Δx)=Δy/Δx，在Δx=0时令g (0)等于这个极限就可以了．〗这样用令的方式定义的函数g(Δx)，难道你看不懂吗？

问: 【 g (x)是从哪里来的？g (x)和g (Δx)是否一回事？】

答; g (x)和g (Δx)是同一个函数，只是自变量不同，一个是x，一个是Δx而已。不过这里是筆误，把x改成Δx，改成〖显然这个g (Δx)就是连续函数〗，就好了。

师先生说【薛问天先生在他的上述那段话里，阐明g (Δx)是连续函数时，用【在Δx=0时令g (0)等于这个极限就可以了】的话语，擅自把他的不学极限来学习微积分的好方法改成有了极限．】

师先生的逻辑推理少那么一根弦，就是不清楚在什么情况下应该用什么不应该用什么。逻辑是混乱的。

【不学极限来学习微积分】，指的是微积分的基本概念如导数等的定义不用极限，我現在是在讨论这种方法同用极限的方法的等价性。即凡是能用极限定义导数的函数，用连续函数也能定义。是在反对师先生认为【薛问天先生的好方法只适用于部分函数，对于另一些、甚至是多数函数就不适用了．】的错误，从而在证明〖对任意函数y=f (x)，只要当Δx→0时Δy/Δx的极限存在，就存在连续函数g (Δx)使在Δx≠0时使Δy/Δx=g (Δx).这个连续函数g (Δx)肯定是存在的．〗

在论证中当然要用到极限，师先生竟然说是【擅自把他的不学极限来学习微积分的好方法改成有了极限】。你说师先生的逻辑是否混乱到了极点。

5，关于这个【不学极限来学习微积分的好方法】，显然只是提出的一种非常初步的方法。它不是教学计划，方案，教科书。距离真正的教学实践，还相差很远，是否可行都很难说。只是因为有人说极限深奥难学，从而提出一种先暂不用极限来学微积分的可能性。我们現在讨论的只是理论上的可能性，作一些理论上的探讨。看理论上对不对，所以对此方法讨论的问题是，它是否在不用极限的条件下，严格定义了微积分的导数概念，在数学上是否正确。至于把这个方法真正用在教学上，当然还相差甚远，不是当下讨论的内容。

6，师教民先生说我的文章有两大特奌，【一是薛问天先生因为自己错误而回复不了我时，就换一个观点回复我，这就不是回复我的观点了．二是薛问天先生因为自己错误而回复不了我时，就大量抄袭极限理论的概念，妄图用该法证明我错误．因为我已证明极限理论错误，所以该法就不能证明我错误了．】

说的太抽象了，还是具体谈问题为好。把具体问题摆出来，看看有无错误就能讨论清楚。你认为极限理论哪里有错，说出来大家评论，不要抽象地说【我已证明极限理论错误，所以该法就不能证明我错误了．】请具体说出来！

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