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Zmn-0553 薛问天：要听进道理，认清事实，承认错误。评李鸿仪先生的《0552》。
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Zmn-0553 薛问天：要听进道理，认清事实，承认错误。评李鸿仪先生的《0552》。
【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对李鸿仪先生《0552》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
要听进道理，认清事实，承认错误。
评李鸿仪先生的《0552》。
薛问天
李鸿仪先生对他的四个严重错误，还没有认识到。本文再做些进一步的评论和解释，帮助他尽快认识。希望李先生不要义气用事，要真正静下心來，听进道理，弄清事实。摆事实，讲道理。这是数学问题，有道理就是对的，没道理就是错的。要认真细緻，不可随意马虎。
关于第一个错误。要认识和承认可数集合的双射，不能把无穷的真子集置于前端的事实，
我以为李先生会很快弄懂。结果是李先生对此还未认清。好吧，我们就把它进一步叙述成为一个定理，并严格加以证明。看李先生还有什么理由可讲。
定理。没一集合A可数，于是在A同自然数ω=｛1,2,3,...｝的任何双射中，都不可以将A的无穷的真子集置于前端。
证明。设集合A可数，于是在A同自然数ω的任何双射中，可证凡是能置于双射前端的A的真子集B都是有穷集合。证明如下。既然B是A的真子集又置于双射的前端，则存在一个A的元素a，它不属于B。而且B的所有元素都在a的双射前面。设此a在双射的对应下，对应于n 。显然在双射a前面的所有元素，对应数都小于n，只能是有穷个。所以B只能是有穷集。
证明了【凡是能置于双射前端的A的真子集B都是有穷集合。】就证明了【在A同自然数ω的任何双射中，都不可以将A的无穷的真子集置于前端。】证毕。
因而【完全不符合事实】的是李先生。李先生对这个事实，没有认识。虽然【两个可数集的并仍然是可数的，即仍然能与自然数建立双射.】，但是【在任何这种双射中都不可以将无穷的真子集置于前端。】
对这个【事实】，李先生要提高他的足够的认识，勇予承认。
关于第二个错误，要承认对于一般的无穷集，【元素数目】并无数学定义的事实。用这个没有定义的概念去置疑康托尔定理的证明，是错误的。
关于《0552》 对第二个错误的辩解，有如下错误。
实数编号集同位数编号集都是自然数，完全相同，用实数集和位数集的无定义的【元素数目相等】來要求对角线证明。是错误的。
李先生引入如下引:理
【引理1：当且仅当实数数目精确等于对角线小数位数时，（3）才成立。】
我已指出这里有两个错误。
第一，此引理根本是错误的不能引入。(3)式成立，是根据(3)式中的实数编号集和位数编号集都是自然数集合。是同一个集合不存在不确切相等的问题。李先生问【难道（3）两端的数目不相等吗？】这里的编号i都是自然数，当然因为是在同一个自然数集合中取数，不存在自然数中的i不在自然数中出现的问题。
第二，在引理中用到了实数集和位数集的【元素数目相等】这个没有数学定义的概念，要知道【元素数目相等】这个概念对于一般的无穷集是没有定义的，所以不能在引理和证明中出现。出现了就是错误。
李先生说的有关【元素数目】的定义，都是有限集合的。如说【元素的数目不过是将数的概念用到元素的计数所得到的一个结果而已，是一个清清楚楚、不需要在集合论中重新定义的概念。即使一定要定义，也非常简单：元素数目：用自然数对元素进行计数，得到的结果称为元素数目。】显然这个定义只适用于有限集合。无限集合已不能用自然数对元素进行计数。也就是说，李先生并未对一般的无穷集定义与基数不同的【元素数目】。他所说的【元素数目】【是一个清清楚楚、不需要在集合论中重新定义的概念】，完全是一句骗人的鬼话。他根本说不清什么是一般无穷集的【元素数目】。
李先生说【计数的结果是无限的，本身也是一种计数的结果，因此不能说计数没有结果，更不能因此说无限集的元素数目没有定义。】难道李先生认为所有无限集的【元素数目】都相等吗？这显然不符号【元素数目】的要求。
对一般无穷集合，没有【元素数目】的定义，这是一个必须承认的事实。对此事实李先生也必须承认。基数是有严格定义的数学概念。在数学上并设有这样的定理证明【无限集元素数目等于基数】。因为【无限集元素数目】没有定义，不允许在数学定理和论证中出现。所以这里不存在任何矛盾。
李先生引述了一段他认为【对角线证明失效！】的【证明】。
但是他的证明是有严重错误的。就是他证明是在对b的小数位数限定在n时，在这个时候，没能证明编号大于n的实数不等于b。也就是说他论证的条件是【假定b已根据（3）计算到n】。【对任意大的n（n＝1，2，3…），总有：实数(编号)数目＞＝M＞n （5）】。当然，当你在考察b时，考察到b的第n位时，只知在i≤n时bii≠Aii.，所以只证明了编号i≤n的实数ai不等于b，并未证明编号i＞n的实数ai不等于b。但是由此你从逻辑上得不出【对角线法失效】的结论。因为证明不能停止在此，还可继续。对任何编号为M＞n的实数aM，我们考察b的第M位。显然有bMM≠aMM。从而可证b不等于aM。既然对任意编号为M的实数aM，可证明它不等于b，则严格证明了b不在实数序列(1)中:。证明可顺利完成。
李先生引出一个定理並给出所谓证明【引理2：无限小数的数目比有限小数的数目多。】说明李先生根本不懂什么是数学定理和证明。无限小数的集合及有限小数的集合，都是无穷集。它们的【元素数目】根本就没有数学定义，怎么还能列为数学定理和证明。纯属最低级的错误。在基数理论中，有穷小数集合的基数是ℵ0，无穷小数的基数是ℵ，ℵ＞ℵ0。这是基数理论中的重要内容。不是李先生想像得那么简单。
关于第三个错误。要认识这种认识是错误的，【如果认为对角线证明的思路是正确的，就必须宣布可列可加性是错的；反之，如果认为可列可加性是对的，就必须宣布对角线的证明思路是错的。 】
李先生辩解说他【没有说对角线的证明是用可列可加性来证明的】，这样的辩解是徒劳的。你看看他原话是怎么说的【对角线证明的全部工作，不过是企图构造一个不在（1）内的 b。如果认为该企图一旦成功，就可以推翻可数假定的话，不管康托的主观意愿是什么， 也不管他具体是怎么讲的，客观上就等于宣告， b 的存在，是与可数假定矛盾的。】明确说【认为该企图一旦成功，就可以推翻可数假定】这不是明确地对康托尔证明的误读吗。
李先生又说【再重声一下吧：对角线认为，在（1）外找到一个b证明了实数不可数，而可列可加性认为在（1）外面找到一个b并不改变可数假定，这么明显的矛盾，为什么视而不见？我都反复说了好多遍了！】
这完全是对康托尔证明的误读。如果(1)仅仅是一个一般的可数的实数序列，再找到一个实数不在(1)中，当然不能否定(1)的可数性。关键是在反证法【实数可数】的假定下，推出(1)是区间中全体实数的序列。在全体实数的序列外找到一个实数，说明(1)不是全体实数序列，因而产生了「(1)是全体实数和(1)是非全体实数」的矛盾，这才推翻了反证法的假定。
因而如果你正确地理解了康托尔的证明，实际上声明应是「对角线认为，在【实数可数】的假定下，推出了在全体实数序列（1）外找到一个实数b的矛盾，从而证明了实数不可数。而可列可加性认为在可列序列外面找到一个序列的元素，并不改变可数假定，这同对角线的证明没有关泵，絲毫的矛盾都没有。」
我查了一下，李先生在对康托尔证明的描述《0549 》中是这么说的【b 是一个不在（1）内的实数，与“根据可数的定义，可将区间[0，1）内的实数一 一列出”矛盾，】他並未说清这个矛盾是「(1)是全体实数和(1)是非全体实数」的矛盾。可见他对康托尔的证明并未真正理解。
关于第四个错误。所谓证明了【实数是可数的】定理的错误。
李先生说【既然可以用自然数编号，当然就和自然数一一对应了。这么简单的事情，为什么我也一直在说，薛先生还是搞不懂呢？还反而说是我望词生义？】
听了这段话，很是吃惊。怎么李先生对数学的定理和证明竟然如此理解。真是大失所望。
要证明实数集合可数，就必须构造一个实数集合同自然数集合间的一个映射，而且要证明此映射是滿足无重复无遗漏的双射条件。这才是真正的数学证明。请问李先生你的证明做到了这点了吗？你具体看看你的【证明】。
【定理 实数是可数的。
证明： 设在实数轴上任取一实数，将其编号为 1，然后再任取另一个数，将其编号为 2..... 该过程无限地延续下去，则所取的数已经与自然数一一对应了。由于每次取数时，必定有一个数会被取出，故任何一个数都可能被取出，也可能不被取出，不存在永远取不出的数，证毕。 】
把实数取出，对其编号可以看作是建立实数同自然数间的映射。但是这个映射能否建成，根本未作任何证明。任何实数都可取出，可以说没有问题，但是是否能编上号就有问题了。例如你先取的是一个无穷的真子集，当把这个真子集取完后自然数己被编号用完了。你还用什么数对其它实数编号？真子集以外的实数还多着呢，你用什么编号。你的映射就没有构成，更谈不上证明双射了。把这样的【证明】，看作是数学证明，简直是...，请李先生自己评价吧。
另外李先生文中的一些陈述也是错误的。如说【...并不是所有可列集合的各种排法都一定可以是用自然数一一编号的，例如｛1，3，5，…2，4，6…｝虽然可数，但其中的偶数未必可以编号。所以，可以用自然数一一编号是可列的充分不必要条件。】
这段话不对，集合可数，此集合就同自然数有一双射，就可以按此双射对自然数进行编号。但此双射不可以把一个无穷真子集置于双射(即编号)的前端。李先生所举的例子{1,3,5,...,2,4,6,...｝，只是说明此集合不能以此次序进行双射和编号而己，并不是说明此集合不能同自然数建立双射和编号。
应该认识到，任何集合，如果是可列的，它就可以同自然数建立双射，而且可以以此双射用自然数进行编号。此编号无重复无遗漏。
我们的讨论不是【教训别人】，是通过摆事实，讲道理指出错误，幫助大家提高认识纠正错误，树立正确的观点。
如果李先生对我所指的四个错误，还有道理可讲，欢迎继续讨论。如果再无道理可讲，就不必再讲，若一时还承认不了错误，就慢慢思考。
我的意思是评论讲道理要具体，要针对具体数学问题，不要凭空议论， 什么【伪科学】了，【反戈一击】了，【悟性和胆魄】了以及什么【早就被我批得体无完肤的观点了】等。要说具体。我说的这四个问题都是具体的数学问题。对错都有明确的数学答案。
参考文献
Zmn-0552 李鸿仪：不讲事实不讲道理的讨论没有必要进行下去:评薛问天先生Zmn-0551中的4个严重错误
Zmn-0551 薛问天：评李鸿仪先生质疑中的四个严重错误，评《0549》
Zmn-0549 李鸿仪： 再议对角线, 兼评《Zmn-0538 薛问天：关于对康托尔定理证明质疑的错误》中的错误．
Zmn-0538 薛问天： 关于对康托尔定理证明质疑的错误。评李鸿仪先生的《0531》
Zmn-0531 李鸿仪：关于对角线讨论的阶段性总结。
返转到
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
Zmn-0517 薛问天： 集合的元素是确定的，不可改变和增加。评林益《0492》
https://wap.sciencenet.cn/blog-755313-1286399.html
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