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Zmn-0552 李鸿仪:不讲事实的讨论没有必要进行下去: 评薛问天先生Zmn-0551中的4个反科学严重错误

已有 366 次阅读 2021-5-10 20:30 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0552 李鸿仪:不讲事实的讨论没有必要进行下去: 评薛问天先生Zmn-0551中的4个反科学严重错误

【编者按。下面是李鸿仪先生的文章。是对薛问天先生《Zmn-0551》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

不讲事实的讨论没有必要进行下去:

评薛问天先生Zmn-0551中的4个反科学严重错误

 

李鸿仪

 

薛先生这次说我有四个“严重错误”,但是他每一个理由都是站不住脚的,都是歪曲或否定事实的,错误十分严重:科学只尊重事实,弯曲或否定事实,或对事实视而不见,本质上就是反科学

 

1所谓第一个错误

第一个错误,关于在可列实数集中,把一个无穷真子集置于前端的错误。

李鸿仪先生别出心裁地提出了一个方案。把一个无穷的实数真子集置于可列实数集的前端,使证明失效。他是这样说的:

【考察(1)的一个真子集,

 0.1000…, 

0.11000…,

0.111000…,

 …… 

并把该真子集置于( 1)的最前端, 显然,这时只能保证 b 与该真子集的任何元素不同,不 能保证与( 1)中任何其他元素不同,对角线证明失败。

我在《0538》文后的跟帖评论【50】,评【47】中己作过评论。李先生考察了【所列实数】的一个真子集,然后说【把该真子集置于所列实数的最前端,】

李先生,你想没想到你做不到这点。你这样做后,因为你的真子集是可列无穷的,所以原來的【可列实数】的双射己不是同ω=1,2,...}的双射,而变成同ω+ ω=1,2,...,,,...}的双射了。破坏了原假定【可列实数】同ω的正常双射。所以你说的【把该真子集置于所列实数的最前端,】的做法是错误的,是做不到的。原假定的双射是全体实数同自然数集ω=1,2,...}的双射,而不是同ω+ω的双射。

也就是说,李先生对【可列实数】(1)的理解不够。【可列实数】是指实数集对自然数集ω=1,2,...}的双射。在这种双射下,是不可能做到【把该真子集置于所列实数的最前端,】的。因为把一个无穷的真子集置于前端,就变成实数集对二倍的自然数集ω+ω=1,2,...,,,...}的双射。所以李先生的方案是做不到的,是完全错误的。

 

我:

事实上,该真子集中的每一个实数都是(1)中原来就有的,为社么不可以在前面?即使不在前面。也可以通过交换实数次序的方法,把它移到前面来。而交换实数次序并不会改变(1)的可数性. 而且,根据可列可加性,两个可数集的并仍然是可数的,即仍然能与自然数建立双射.

薛先生的做不到完全不符合事实。

其实该例子只是用来打破人们对对角线的迷信,说明对角线证明至少并不总是有效的。真正说明对角线始终无效的是证明(1)的前面必然有一个真子集A的证明(即BA非空的证明)。

 

2所谓第二个错误

第二个错误,关于要求实数集合同位数集合的【元素数目】相等的错误。

李先生说【错误的隐含假定“实数数目精确等于对角线小数位数”是对角线证明错误的原因所在。】

李先生在这里提出了这样的要求。李先生说【式(3)左右两端的下标相同,故(3)左端的实数数目与右端 b 的小数位数精确一致。如果把滿足(3)的实数定义成集合 A 的元素,那么 A 只是 B 的一个真子集,这里, B 是以(1)为元素的集合。

在这里实际上是有两个错误。                                             

(1),所要求的【实数集合】同【位数集合】的【元素数目】精确一致,即【相等】。

这个要求本身是无意义的,因为【元素数目】对一般的无穷集合來说是没有定义的,不知道它是什么意思,什么是两个一般的无穷集合的【元素数目相等】,这个要求亳无意义。

:

【式(3)左右两端的下标相同,故(3)左端的实数数目与右端 b 的小数位数精确一致。

也是再简单不过的事实了:i=1时,(1)有1个实数,b1位小数符合(3);i=2时,(1)有2个实数,b2位小数符合(3)。。。。

写成引理:

引理1:当且仅当实数数目精确等于对角线小数位数时,(3)才成立。

证明:充分性:当实数数目精确等于对角线小数位数时,每一个实数i都有一个小数位数i,使得(3)成立.

必要性(反证):如果实数数目不等于对角线小数位数,则(3)只对其中数量相等的那部分成立。证毕

以上引理及其证明不过是最简单的事实的描述,任何一个具有正常思维能力的人都不可能也不应该反对事实,或者在事实面前装傻充愣。

对角线是康托集合论的重要支柱,现在既然在质疑对角线,又怎么能够假定集合论的其他理论是对的呢?所以请薛先生暂时忘掉所有集合论的知识,从头开始开始考虑问题。相反,在事实面前,硬要用未必可靠的集合论的东西(例如,所有的自然数集都有相同的元素数目)来套,不但是不严肃的,有逻辑循环之嫌,甚至是反科学的:

难道(3)两端的数目不相等吗?板上钉钉的事实,也可以随意否定?事实是能反对的吗?

任何理论都是用来描述和解释事实的,如果某一种理论无法描述事实,只能说明这个理论不完善,需要加以改进。。

再说,我这里甚至没有用到集合的概念,所以集合论中的错误或不完善干扰不到我的推导。薛先生完全是在乱套概念。

即使要讨论集合论,我在https://zhuanlan.zhihu.com/p/354660053中的话,薛先生是没看到,还是忘了:

这种说法(指薛先生所说的无限集合的元素数目没有定义,不能讨论)也不符合事实,比如说,从集合论的角度,(3)左右两端就和无限集的元素数目有关,怎么能说讨论无限集的元素数目没有意义呢?
   
该说法很可能是为了掩盖用基数代替元素数目而产生的矛盾:基数相同而元素数目却可能不相同。为了掩盖这种矛盾,就干脆否认元素数目这一客观存在的概念,这样,基数和元素数目之间的矛盾似乎就可以不存在了?
   
可惜,这不过是一种鸵鸟政策:客观存在的矛盾并不会因为主观的掩盖或不承认而消失。
事实上,数的概念是数学的基本概念,而元素的数目不过是将数的概念用到元素的计数所得到的一个结果而已,是一个清清楚楚、不需要在集合论中重新定义的概念。即使一定要定义,也非常简单:

元素数目:用自然数对元素进行计数,得到的结果称为元素数目。

这里要注意的是,定义中并没有规定元素的数目是有限还是无限的,因此,该定义对有限集和无限集都成立,只是对无限集来 说,计数得到的结果是无限的而已。

“计数的结果是无限的“,本身也是一种计数的结果,因此不能说计数没有结果,更不能因此说无限集的元素数目没有定义。

薛先生既然认为无限集元素数目这一概念不存在,没有定义,又为什么说无限集元素数目等于基数呢?只有概念存在了,才能讨论相等不相等的问题吧?这难道不也是明显的自相矛盾吗?

 薛先生完全已经对自相矛盾失去了敏感性,所以可以坦然接受那些充满了自相矛盾的东西,自己的叙述也充满了自相矛盾,薛先生的逻辑思维基本功还待大幅提高呢!

希望薛先生以后不要一再用这种不着边际的东西来反科学地否定事实了。

 (2),在(3)式中用的是实数的编号和位数的编号。这两个编号集是相同的,都是自然数。所以根本不存在编号自然数不相等的任何问题。

在李先生对(3)的评论中,只字不提编号,不提自然数,是错误的。要知道在证明中论证的是,对任何实数,都存在自然数i,此实数以i为编号,记为ai。实数ai是无穷小数,有以自然数i为位数编号的第i位小数aii,在b的构造中,b的第i位小数biiaii。证明的思路离不开编号和自然数。李先生回避自然数在证明中的重要作用是完全错误的。

 

关于自然数及其编号问题,薛先生是没有看到下面这段话还是忘了:

不失一般性,假定b已根据(3)计算到n(n=1,2,3…,可将其定义为一个无上界的正整数变量)位小数,由于(1)内的任意实数总可以写成无限小数的形式(有限小数可以在末尾加上无限个零变成无限小数),因此,任意实数的小数位数总是不小于n的,即使只考虑实数的n位有限小数,如所周知,十进制n位有限小数有10^n个,无限小数的数目当然更多。因此,令M=10^n,则对任意大的n(n=1,2,3…),总有:

实数数目>=M>n (5)

(5)最左端虽然是对角线位数延长到n位时的实数数目,但由于整数变量n无上界,因此也是对角线位数延长到任意长时的实数数目。

(5)已说明,无论对角线延长到什么程度,即无论整数变量n有多大,实数数目是永远大于b的小数位数n(n=1,2,3…)的。

对任意大的n,根据(5),(1)的下标i可以表示为:

1,2,3, ..., n-1, n,n+1,...,M-1,M,M+1,...(6)

显然都是自然数,即实数的可数假定仍然成立:(6)与(1)可构筑双射,但(3)右端的下标i为:

1,2,3, ...,n-1, n(7)

显然,(7)是(6)的真子集,而下标为

n+1,...,M-1,M,M+1,...

的实数是永远不可能出现在(3)的左端的,对这部分事实上占绝大多数的实数,(4)当然无法成立,对角线证明失效!

 

这里不但提到了自然数,而且给出了下标编号,十分详细,薛先生是没有看到还是不愿意看到?或者是装做没看到?

康托关于自然数集合的理论是有问题的,这一点我在

https://zhuanlan.zhihu.com/p/354660053

的定理2及其证明中已经说得很清楚了。其实,薛先生一再强调自然数,其实是要用康托的自然数集合的理论来套事实,遵循的还是错误的理论可以否定歪曲事实这一反科学哲学观点。

至于李先生所证明的A-B非空。当然是错误的。因为有穷小数同无穷小数根本是两个不同的概念。对于有穷n位小数,小数的数目大于位数,这个事实推不出无穷小数的任何结论。李先生所说的【无限小数的数目当然更多】,这只是李先生的主观想像,不能作为数学证明的正式推论。把想像作为推论是李先生的严重错误。

 

【无限小数的数目当然更多】,这也是再明显不过的事实:

引理2无限小数的数目比有限小数的数目多。

证明:对于十进制小数,由于每一位小数都有十种可能,所以小数的位数越多,小数的数目就越多,无限小数的位数比有限小数的位数多,所以无限小数的数目比有限小数的数目多。证毕。

如此简单的事实,薛先生也想不明白?,还要反对?难道无限小数的数目反而与有限小数相等或者更少?

把叙述事实说成是“主观想象”“严重错误”, 这才是真正的反科学的严重错误呢!

 

3所谓第三个错误

第三个错误,我已多次指出,李鸿仪先生提出的关于证明违背【可列可加性】规律的质疑,实际上是他对康托尔定理证明的误读。

 

他这次还如此说:【另外一个更明显的逻辑漏洞是:对角线证明的全部工作,不过是企图构造一个不在( 1 内的 b。如果认为该企图一旦成功,就可以推翻可数假定的话,不管康托的主观意愿是什么, 也不管他具体是怎么讲的,客观上就等于宣告, b 的存在,是与可数假定矛盾的。然而,根据康托自己建立的可列可加性理论,在可数集合里,再增加一个、多个甚至无限个 b,与可 数假定都无法形成任何必然的矛盾!这就会导致这样的结果:如果认为对角线证明的思路是正确的(是不是证明了是另外一回事),就必须宣布可列可加性是错的;反之,如果认为可 列可加性是对的,就必须宣布对角线的证明思路是错的。 其实光凭这一点,就足以推翻康托的理论体系。

从此段话可以看出李鸿仪先生并设有看懂康托尔定理的证明。康托尔定理的证明,並不是李先生所理解的是根据【 b 的存在,是与可数假定矛盾的】來证明的。而是在反证法【实数集可数】的假定下,全体实数组成的【实数集】全在实数序列(1)中。但是发现了单位区间中另有实数b不在所论述的(1)中,从而产生「全体和非全体」的矛盾,推翻了反证法的假定。证明了【实数不可数】的定理。李先生也知道【在可数集合里,再增加一个、多个甚至无限个 b,与可数假定都无法形成必然的矛盾!】怎么能作为证明的根据呢。说康托尔的证明是根据在可数集合外发现了实数b的存在,就证明实数不可数了,这是对康托定理证明的严重误读。李先生所说的【如果认为对角线证明的思路是正确的,就必须宣布可列可加性是错的;反之,如果认为可 列可加性是对的,就必须宣布对角线的证明思路是错的。 】这样的断言毫无根据,是完全错误的。李先生说【不管康托的主观意愿是什么, 也不管他具体是怎么讲的,】这完全是強词夺理,看证明就要看他证明的根据是什么,怎么能【不管他具体是怎么讲的,】李先生自己提出一个错误的【根据】,然后再來批判这个【根据】的错误。由此來断定康托证明的错误,李先生把这么明显的错误逻辑推理,拿到我们的正规讨论之中,确实是难以想像。

其实弄清这个问题很简单,就是请李先生回答,你看懂康托尔的证明设有,康托尔推翻反证法假定的根据是什么?他发现的矛盾是什么?如果能正确回答这个问题,李先生的质疑马上就不存在了。

 

我实在不明白薛先生的理解能力为何是这么低下?我都讲得这么清楚了,他还是要曲解我的意思。我的意思是说:对角线的证明思路与可列可加性是矛盾的,并没有说对角线的证明是用可列可加性来证明的(既然是矛盾的,当然根本就不可能用可列可加性来证明对角线!),这完全是两回事,为什么要混淆呢?

再重声一下吧:对角线认为,在(1)外找到一个b证明了实数不可数,而可列可加性认为在(1)外面找到一个b并不改变可数假定,这么明显的矛盾,为什么视而不见?我都反复说了好多遍了!

是不是薛先生的“特长”就是混淆概念,所以怎么也讲不清楚?或者是先曲解别人的意思,然后再加以批判,以显示自己的高明?

至于康托小儿科似的证明,(1)到(4)已经讲得很清楚了,这完全是我自己写的,不是抄的,如果我不知道康托的证明的话,我写得出吗?

为什么把自己看得那么高,把别人看得那么低呢?是不是有点不知天高地厚啊!

 

4所谓第四个错误

第四个错误,也是最有趣的错误,是李先生宣告他【证明】了【实数是可数的定理】。

李先生说【其实实数的可数性根本不需要复杂的推理即可证明: 

定理 实数是可数的。 

证明: 设在实数轴上任取一实数,将其编号为 1,然后再任取另一个数,将其编号为 2..... 该过程无限地延续下去,则所取的数已经与自然数一一对应了。由于每次取数时,必定有一 个数会被取出,故任何一个数都可能被取出,也可能不被取出,不存在永远取不出的数,证毕。 

当然,这个过程是不会终止的。这个很正常:任何无限集合的元素都是永远取不完的,...

从这个定理和对它的证明,就可看出李先生对什么是数学概念,什么是数学证明,还缺乏最基本的了解。还需要进一步的学习和理解。

首先要了解任何数学概念都有严格的数学定义。要了解教学概念的确切含义,就要根据它的定义。在数学上最忌讳的事就是不根据定义,而是用概念名称的字面含义胡乱发挥,來理解数学概念的含义。例如集合的【可数】,按定义是在该集合同自然数集合之间存在一个双射。因而要证明实数可数,就要在实数和自然数间建立一个映射,而且要证明这个映射是无重复无遗漏的双射。这才是真正的数学证明。而把【可数】从它的字面含义,认为是可以从数轴上一个一个地取出编号,【该过程无限地延续下去,则所取的数已经与自然数一一对应了,...故任何一个数都可能被取出,...不存在永远取不出的数, ,这那里是证明,完全是李先生的主观想像。而康托尔则是严格地用数学方法(反证法),严格地证明了实数不可数。如果【实数可数】,就会出现矛盾,从而推翻了【实数可数】的假定,证明了【实数不可数】的结论。

 

既然可以用自然数编号,当然就和自然数一一对应了。这么简单的事情,为什么我也一直在说,薛先生还是搞不懂呢?还反而说是我望词生义?

记得我去年我还给你出过习题,结果也不了了之,估计是做不出吧,那我这里就给你做一下:

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/354660053中的这段话,

这里要说明的是,所谓可列,就是可以和自然数一一对应。如果每一个元素都可以一一列出,当然可以一一加以编号,从而与自然数一一对应。换言之,可以用自然数一一编号是可列的充分条件。

但并不是所有可列集合的各种排法都一定可以是用自然数一一编号的,例如{1,3,5,…2,4,6…}虽然可数,但其中的偶数未必可以编号。所以,可以用自然数一一编号是可列的充分不必要条件。

薛先生是否还以为自己有资格以数学权威的身份来教训别人呢:

薛先生除了会背可列的定义外,说得清楚“可列”与“可以用自然数编号”之间的关系吗?

当薛先生举起大棒批评别人的时候,是不是应该想一想:是不是因为自己缺乏辨别是非的能力,才导致把别人正确的东西看成错误的了?

 

总之,任何理论都是用来描述和解释事实的,理论对不对?是不是完善?完全取决于它能不能完成这个任务。所以学术讨论应该从事实出发,而不是用理论去套事实,甚至反科学地用错误的理论来歪曲和否定事实。

如果在这个问题上,薛先生都无法与我取得共识,那我也就不想再和他讨论了。

科学只尊重事实,数学的事实又写在纸上,清清楚楚,明明白白,谁也没法隐瞒,没法否定,板上钉钉的事实,早晚会把伪科学送进历史的垃圾箱,甚至钉在历史的耻辱桩上。建议薛先生认清事实,看清趋势,不要再做无谓的抵抗,反戈一击倒是一个可选项,当然,这要看薛先生的悟性和胆魄了。按理说,薛先生应该也是退休之人,认清并尊重事实,又有何难?何惧之有?闭着眼睛说瞎话,又会带来什么利益?很有趣吗?

还有,薛先生的思想是否已经僵化?他的很多错误思想我都反复讲过了,他当时也没有反对,但过了一段时间好像又忘了,又用这些错误思想来反对我,这样讨论下去,没完没了,也没有意思了

如果薛先生以后没有新鲜思想的话,我也就不打算再回应了。请薛先生不要一再重复早就被我批得体无完肤的观点了。


 

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