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Zmn-0551 薛问天:评李鸿仪先生质疑中的四个严重错误,评《0549》

已有 290 次阅读 2021-5-8 22:34 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

 

Zmn-0551 薛问天:评李鸿仪先生质疑中的四个严重错误,评《0549》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对李鸿仪先生《0549》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

 

评李鸿仪先生质疑中的四个严重错误,

评《0549》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg在这次李鸿仪先生的《0549》一文中,有明显的四个错误。其中的第二和第三个错误,过去曾批评过。这次李先生又提出來了。所以再重复作些评论。

 

第一个错误,关于在可列实数集中,把一个无穷真子集置于前端的错误。

李鸿仪先生别出心裁地提出了一个方案。把一个无穷的实数真子集置于可列实数集的前端,使证明失效。他是这样说的:

考察(1)的一个真子集,

 0.1000…, 

0.11000…

0.111000…

 …… 

并把该真子集置于( 1)的最前端, 显然,这时只能保证 b 与该真子集的任何元素不同,不 能保证与( 1)中任何其他元素不同,对角线证明失败。

我在《0538》文后的跟帖评论【50】,评【47】中己作过评论。李先生考察了【所列实数】的一个真子集,然后说【把该真子集置于所列实数的最前端,

李先生,你想没想到你做不到这点。你这样做后,因为你的真子集是可列无穷的,所以原來的【可列实数】的双射己不是同ω={1,2,...}的双射,而变成同ω+ ω={1,2,...,①,②,...}的双射了。破坏了原假定【可列实数】同ω的正常双射。所以你说的【把该真子集置于所列实数的最前端,】的做法是错误的,是做不到的。原假定的双射是全体实数同自然数集ω={1,2,...}的双射,而不是同ω+ω的双射。

也就是说,李先生对【可列实数】(1)的理解不够。【可列实数】是指实数集对自然数集ω={1,2,...}的双射。在这种双射下,是不可能做到【把该真子集置于所列实数的最前端,】的。因为把一个无穷的真子集置于前端,就变成实数集对二倍的自然数集ω+ω={1,2,...,①,②,...}的双射。所以李先生的方案是做不到的,是完全错误的。

 

第二个错误,关于要求实数集合同位数集合的【元素数目】相等的错误。

李先生说【错误的隐含假定“实数数目精确等于对角线小数位数”是对角线证明错误的原因所在。

李先生在这里提出了这样的要求。李先生说【式(3)左右两端的下标相同,故(3)左端的实数数目与右端 b 的小数位数精确一致。如果把滿足(3)的实数定义成集合 A 的元素,那么 A 只是 B 的一个真子集,这里, B 是以(1)为元素的集合。

在这里实际上是有两个错误。                                             

(1),所要求的【实数集合】同【位数集合】的【元素数目】精确一致,即【相等】。

这个要求本身是无意义的,因为【元素数目】对一般的无穷集合來说是没有定义的,不知道它是什么意思,什么是两个一般的无穷集合的【元素数目相等】,这个要求亳无意义。

 (2),在(3)式中用的是实数的编号和位数的编号。这两个编号集是相同的,都是自然数。所以根本不存在编号自然数不相等的任何问题。

在李先生对(3)的评论中,只字不提编号,不提自然数,是错误的。要知道在证明中论证的是,对任何实数,都存在自然数i,此实数以i为编号,记为ai。实数ai是无穷小数,有以自然数i为位数编号的第i位小数aii,在b的构造中,b的第i位小数bii≠aii。证明的思路离不开编号和自然数。李先生回避自然数在证明中的重要作用是完全错误的。

至于李先生所证明的A-B非空。当然是错误的。因为有穷小数同无穷小数根本是两个不同的概念。对于有穷n位小数,小数的数目大于位数,这个事实推不出无穷小数的任何结论。李先生所说的【无限小数的数目当然更多】,这只是李先生的主观想像,不能作为数学证明的正式推论。把想像作为推论是李先生的严重错误。

 

第三个错误,我已多次指出,李鸿仪先生提出的关于证明违背【可列可加性】规律的质疑,实际上是他对康托尔定理证明的误读。

 

他这次还如此说:【另外一个更明显的逻辑漏洞是:对角线证明的全部工作,不过是企图构造一个不在( 1) 内的 b。如果认为该企图一旦成功,就可以推翻可数假定的话,不管康托的主观意愿是什么, 也不管他具体是怎么讲的,客观上就等于宣告, b 的存在,是与可数假定矛盾的。然而,根据康托自己建立的可列可加性理论,在可数集合里,再增加一个、多个甚至无限个 b,与可 数假定都无法形成任何必然的矛盾!这就会导致这样的结果:如果认为对角线证明的思路是正确的(是不是证明了是另外一回事),就必须宣布可列可加性是错的;反之,如果认为可 列可加性是对的,就必须宣布对角线的证明思路是错的。 其实光凭这一点,就足以推翻康托的理论体系。

从此段话可以看出李鸿仪先生并设有看懂康托尔定理的证明。康托尔定理的证明,並不是李先生所理解的是根据【 b 的存在,是与可数假定矛盾的】來证明的。而是在反证法【实数集可数】的假定下,全体实数组成的【实数集】全在实数序列(1)中。但是发现了单位区间中另有实数b不在所论述的(1)中,从而产生「全体和非全体」的矛盾,推翻了反证法的假定。证明了【实数不可数】的定理。李先生也知道【在可数集合里,再增加一个、多个甚至无限个 b,与可数假定都无法形成必然的矛盾!】怎么能作为证明的根据呢。说康托尔的证明是根据在可数集合外发现了实数b的存在,就证明实数不可数了,这是对康托定理证明的严重误读。李先生所说的【如果认为对角线证明的思路是正确的,就必须宣布可列可加性是错的;反之,如果认为可 列可加性是对的,就必须宣布对角线的证明思路是错的。 】这样的断言毫无根据,是完全错误的。李先生说【不管康托的主观意愿是什么, 也不管他具体是怎么讲的,】这完全是強词夺理,看证明就要看他证明的根据是什么,怎么能【不管他具体是怎么讲的,】李先生自己提出一个错误的【根据】,然后再來批判这个【根据】的错误。由此來断定康托证明的错误,李先生把这么明显的错误逻辑推理,拿到我们的正规讨论之中,确实是难以想像。

其实弄清这个问题很简单,就是请李先生回答,你看懂康托尔的证明设有,康托尔推翻反证法假定的根据是什么?他发现的矛盾是什么?如果能正确回答这个问题,李先生的质疑马上就不存在了。

 

第四个错误,也是最有趣的错误,是李先生宣告他【证明】了【实数是可数的定理】。

李先生说【其实实数的可数性根本不需要复杂的推理即可证明: 

定理 实数是可数的。 

证明: 设在实数轴上任取一实数,将其编号为 1,然后再任取另一个数,将其编号为 2..... 该过程无限地延续下去,则所取的数已经与自然数一一对应了。由于每次取数时,必定有一 个数会被取出,故任何一个数都可能被取出,也可能不被取出,不存在永远取不出的数,证毕。 

当然,这个过程是不会终止的。这个很正常:任何无限集合的元素都是永远取不完的,...

从这个定理和对它的证明,就可看出李先生对什么是数学概念,什么是数学证明,还缺乏最基本的了解。还需要进一步的学习和理解。

首先要了解任何数学概念都有严格的数学定义。要了解教学概念的确切含义,就要根据它的定义。在数学上最忌讳的事就是不根据定义,而是用概念名称的字面含义胡乱发挥,來理解数学概念的含义。例如集合的【可数】,按定义是在该集合同自然数集合之间存在一个双射。因而要证明实数可数,就要在实数和自然数间建立一个映射,而且要证明这个映射是无重复无遗漏的双射。这才是真正的数学证明。而把【可数】从它的字面含义,认为是可以从数轴上一个一个地取出编号,【该过程无限地延续下去,则所取的数已经与自然数一一对应了,...故任何一个数都可能被取出,...不存在永远取不出的数,】 ,这那里是证明,完全是李先生的主观想像。而康托尔则是严格地用数学方法(反证法),严格地证明了实数不可数。如果【实数可数】,就会出现矛盾,从而推翻了【实数可数】的假定,证明了【实数不可数】的结论。

 

参考文献

Zmn-0549 李鸿仪: 再议对角线, 兼评《Zmn-0538 薛问天:关于对康托尔定理证明质疑的错误》中的错误.

Zmn-0538 薛问天: 关于对康托尔定理证明质疑的错误。评李鸿仪先生的《0531》




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