1.$a_{n}$ 为有界数列，则：$\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\leqslant\limsup_{n\to\infty}a_n$

证:

begin{eqnarray*}

  & &limsup_{ntoinfty}frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}\

  &leqslant & limsup_{ntoinfty}frac{displaystylesup_{kgeqslant1}a_k

  +displaystylesup_{kgeqslant2}a_k+cdots+displaystylesup_{kgeqslant n}a_k}{n}(text{极限存在,上极限等于极限})\

  &= & lim_{ntoinfty}frac{displaystylesup_{kgeqslant1}a_k

  +displaystylesup_{kgeqslant2}a_k+cdots+displaystylesup_{kgeqslant n}a_k}{n}\

  &=&lim_{ntoinfty}sup_{kgeqslant n}a_k=limsup_{ntoinfty}a_n.

end{eqnarray*}

注：显然直接放缩到最大值是不对的.