老邪在 好玩的直方图 中提出要找对称的曲线，我就我的理解先画个简单的：下面这两个函数应该符合文中1、2的要求，当然是属于没有归一化的，纵坐标不是概率，毕竟都到2了：

$y=2x$

$y=2(1-x)$

 

不过这两个函数在0-1之间的定积分是为1的，积分函数可以写成： 

$y= x^2$

$y=1-(1-x)^2$

 

梦回吹角连营 中提到了双峰函数，太复杂的函数处理起来比较容易出错，所以我只用到了正弦函数：

Mathematica里面 $Sin[2 \pi x]^2$的意思就是$(Sin[2 \pi x])^2$

 

 

 

这两个函数不是随便乱找的，因为他们在0-1之间的定积分都为1，积分函数可以写成：

 

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根据老邪的建议补充定义：

概率密度函数：$p(x)$

对称概率密度函数：$q(x)=p(1-x)$

概率密度积分函数：$r(x)= \int p(x)dx$

对称概率密度积分函数：$s(x)= \int q(x)dx=1-r(1-x)$

面积：

公平线之下：

公平线之上：

----例1：

概率密度函数：$p(x)=x$

对称概率密度函数：$q(x)=p(1-x)=1-x$

概率密度积分函数：

对称概率密度积分函数：

面积：

公平线之下：

公平线之上：

  ----例2：

概率密度函数：

对称概率密度函数：

概率密度积分函数：

对称概率密度积分函数：

 

面积：

公平线之下：

公平线之上：

 

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