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大学数学应该增强高斯积分的讨论

2013-10-7 13:32

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标签：大学, 数学, 高斯

最近在给学生讲格林函数和场论，里面要涉及到Wick定理。讲得太难了嘛，学生又不是很懂。所以我的很多细节只能从高斯积分开始讨论。

1. 什么是高斯积分?

$.int_{-.infty}^{+.infty} e^{-x^2}.,dx = .sqrt{.pi}.$

上面的公式大家都非常清楚。

2. 高维高斯积分

$.int_{-.infty}^.infty .exp.left(-.frac 1 2 .sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j .right) ., d^nx =.int_{-.infty}^.infty .exp.left(-.frac 1 2 x^{T} A x .right) ., d^nx=.sqrt{.frac{(2.pi)^n}{.det A}}$

这里注意，需要用到Det, 这是线性代数的内容。所以最好在线性代数中增强这个部分的讨论。

3. 母函数方法

$.int e^{-.frac{1}{2}.sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+.sum_{i=1}^{n}B_i x_i} d^nx=.sqrt{ .frac{(2.pi)^n}{.det{A}} }e^{.frac{1}{2}.vec{B}^{T}A^{-1}.vec{B}}.$

所以，任何函数，都可以对上面的结果求导数得到，比如

$.int f(.vec x) .exp.left( - .frac 1 2 .sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j .right) d^nx=.sqrt{(2.pi)^n.over .det A} ., .left. .exp.left({1.over 2}.sum_{i,j=1}^{n}(A^{-1})_{ij}{.partial .over .partial x_i}{.partial .over .partial x_j}.right)f(.vec{x}).right|_{.vec{x}=0}$

4. 求平均值和Wick定理

$.int x^{k_1}.cdots x^{k_{2N}} ., .exp.left( -.frac{1}{2} .sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j .right) ., d^nx =.sqrt{.frac{(2.pi)^n}{.det A}} ., .frac{1}{2^N N!} ., .sum_{.sigma .in S_{2N}}(A^{-1})^{k_{.sigma(1)}k_{.sigma(2)}} .cdots (A^{-1})^{k_{.sigma(2N-1)}k_{.sigma(2N)}}$
这个结果就是Wick定理的结果。另外，任何一个物理量的平均值为,

$.frac{.int f(x_1).cdots f(x_{2N}) e^{-.iint .frac{1}{2}A(x_{2N+1},x_{2N+2}) f(x_{2N+1}) f(x_{2N+2}) d^dx_{2N+1} d^dx_{2N+2}} .mathcal{D}f}{.int e^{-.iint .frac{1}{2} A(x_{2N+1}, x_{2N+2}) f(x_{2N+1}) f(x_{2N+2}) d^dx_{2N+1} d^dx_{2N+2}} .mathcal{D}f} =.frac{1}{2^N N!}.sum_{.sigma .in S_{2N}}A^{-1}(x_{.sigma(1)},x_{.sigma(2)}).cdots A^{-1}(x_{.sigma(2N-1)},x_{.sigma(2N)}).$

其实，上面的结果就是Wick定理。我相信Wick在他的文章中一定早就知道了这个结果，他做的事情是把他推广到波色和费米子而已。

下面的图片是Wick定理的图解

我是觉得如果大学数学(对物理类学生)可以增加上面的讨论，而且用图的形式介绍一下这些解雇，我相信对学生学习格林函数会有很大的帮助。当然，讲述多体理论的老师如果强调一下这些大家可以很容易理解的东西，那么效果会更好。

借着这个博客，也许我可以提出另外一个想法：教数学和教物理的老师应该坐下来好好讨论讨论哪些东西是物理专业最需要的，数学老师可以做预先数学铺垫，这样物理老师可以节省很多麻烦，学生也可以节省很多弯路。这里给出来的是一个典型例子。

转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自龚明科学网博客。

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