龚明
量子回归定理的证明
2022-5-25 12:42
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这篇文章回顾一篇短小的论文(Schulman,Phys. Rev. A, 1978; 见图 1),它用一页纸给出了量子回归定理的证明。这些论文都采用了almost-periodic functions(拟周期函数)中的一个结论,我们将不采用这个结论,而试图给一个更加直观的证明/解释。这篇文章的摘要和前言,也写得非常简单明了,让人爱不释手。

点评:在历史上,有很多篇幅短小的论文,但是它们给出了一些重要的结论。重要性和长短无关。就如同20字的绝句可以传世,长篇的诗歌(比如荷马史书、但丁神曲等)可以传世,大部头的百万字的小说也可以传世; 关键还是看是否言之有物。在时间面前,任何修饰和吹嘘,都会退色,从而露出本来的价值。

为此,我们回顾经典系统的庞加莱回归定理。这个定理的表述是这样的(Poincare, 1890年):

Any phase-space configuration $(p, q)$ of a system enclosed in a finite volume will be repated as accurately as one whshes after a finite (be it possibly very long) interval of time.

下面的描述可能更加数学化一点点:

In mathematics and physics, the Poincaré recurrence theorem states that certain dynamical systems will, after a sufficiently long but finite time, return to a state arbitrarily close to (for continuous state systems), or exactly the same as (for discrete state systems), their initial state.

我们尽量避免数学化的描述。第一段文字来自量子回归定理的第一个证明(Bocchieri and Loinger, Quantum Recurrence theorem, Phys. Rev. 107, 337 (1957))。这段文字翻译后的意思为:

一个有限系统中,任何一个系统的状态,经过足够长时间的演化,都会以任意精度回到它的初始状态。

这句话的重点是有限系统(所以特地粗体强调)。在一个无限系统中,就不存在这个结果了;或者需要的时间无限大。对于一个有限系统,它的微观状态数为$\Omega = V/\hbar^d$。量子系统中也有类似的结果。但是对一个有限系统,它的希尔伯特空间可能是发散的,比如

\begin{equation} \mathcal{K} = \{|n\rangle | \quad  n=0, 1, 2, \cdots. \} \end{equation}

但是它的能谱是离散的。这里我强调可能发散,是因为自旋1/2系统的希尔伯特空间的大小为$2^L$。

量子回归定理的证明比较容易。假设哈密顿为$H$, 其能谱为$E_n$,它们是离散的(因为是有限系统)。所以我们有

\begin{equation} |\Psi(t)\rangle  = \sum_{n=0}^\infty r_n e^{i\phi_n -iE_n t} |n\rangle. \end{equation}

计算回归几率

\begin{equation}|| \Psi(T) - \Psi(0)|| = 2\sum_{n=0}^\infty r_n^2 (1 - \cos(E_n t)). \end{equation}我们要证明存在$T$,使得\begin{equation} 2\sum_{n=0}^\infty r_n^2 (1 - \cos(E_n t)) \le \epsilon, \quad \epsilon \rightarrow 0^+. \end{equation}注意这里有无穷多能级,所以不好处理。我们需要做一个截断,比如我们假设存在$N$, 使得\begin{equation}2\sum_{n=N+1}^\infty r_n^2(1 - \cos(E_n t))  \le 4\sum_{n=N+1}^\infty r_n^2  \le \epsilon/3. \end{equation} 这一点总是可以做到的,因为$\sum_{n=0}^\infty r_n^2 = 1$是归一的。

下面分析剩余的部分,它们的能量为$E_n$,其中$0 \le n \le N$。我们需要对它们给出一个直观理解。分两种情况讨论:

  1. $E_n$都是有理数,假设$E_n = q_n/p_n$, 那么可以定义时间$T =2 \pi \prod_{j} p_j$。此时,系统它格地回复到初始状态。如果这个近似可以足够精确,则这个结论也是成立的。

  2. $E_n$不完全是有理数,此时我们可以假设(这个解非唯一, 而且可以无限逼近)

    \begin{equation}E_n = {q_n + \kappa_n \over K}, \quad  |\kappa_n| < q \sqrt{\epsilon}. \end{equation}

    取$T =2\pi K$,则\begin{equation} \sum_{n=0}^N 2r_n^2 (1 - \cos(E_n2 \pi K)) \le \sum_{n=0}^N r_n^2 \kappa_n^2  \le  4\pi^2 q^2 \epsilon. \end{equation}

    由于$E_n$可以用有理数无限逼近,这个要求总是可以得到满足的---这个证明的细节,我们不讨论。它要求(无理数的性质)

    \begin{equation} |E_n - {q_n \over K}| < {q\sqrt{\epsilon} \over K}. \end{equation}

    它可以用构造法得到。对于任意一个趋于零的正数$\delta$($\delta \rightarrow 0^+$), 以及任意一组离散的值$E_n$,  $0 \le n\le N $,总可以找到合适的整数$a_n$和$b_n$, 使得$|E_n - a_n/b_n| < \delta$成立。如果这样,可以取$K = \prod_n b_n$, $q_n = a_n K/b_n$,以及$\delta = q\sqrt{ \epsilon}/K$即可(此处证明不完全,需要仔细讨论)。最后选择合适的$q$即可得到量子回归定理。

这些讨论有浓厚的数学分析的味道。回顾这篇文章,下面的不等式就显得非常关键了:

\begin{equation} \sum_{n=0}^N |r_n e^{iE_n t} - r_n|^2  < {\epsilon \over 3}. \end{equation} 这个结论数学家早就得到了; 但如上所示,它有简单和直观的图像。

最后解释连续模型(无限系统)不可能有量子回归定理。为此,考虑下面的模型连续谱模型(假设$r_n \sim \exp(-A x^2)$)

\begin{equation} ||\Psi(T) - \Psi(0)|| = \sqrt{{A \over \pi} }\int dx \exp(-A x^2) (1 - \cos(x T)) = 1 - \exp(-{T^2 \over 4A}).  \end{equation}

在时间足够长后,它不会回到初始状态。所以无穷系统不可能有回归定理---这一点经典系统和量子系统是一致的。量子回归定理、Gibbs佯谬、以及各态历尽原理有非常密切的关系,可以参考论文:Olivier Darrigol,The Gibbs Paradox: Early History and Solutions,2018年。直到今天,回归定理依旧是一个深刻的、值得反复思考的结论。在物理系统中,尤其是多体系统中,这个时间$T$也许有某些物理意义;但这已经超过笔者的知识了。

补充:昨天组会(2022年5月24日,周二下午),涉及到下面的积分

\begin{equation} I = \sum_{j=1}^N \ln(A + B \cos(q j)).\end{equation}

如果$q$是无理数,那么$qj$ mod($2\pi$)将均匀遍历整个区间$[0, 2\pi]$,所以我们有

\begin{equation} I \simeq  {N \over 2\pi} \int_0^{2\pi} \ln(A + B \cos(\theta)) d\theta.\end{equation}

这个结果可以很容易数值检验(见图 2)。如果把$\ln$函数替换为任意函数$f(q j)$, 它也是成立的。注意,如果$q/\pi$是有理数(比如$q=1.23\pi$等),它也可能是一个不错的(或非常精确的)近似。

作为一个直接的结论,我们看到,这个积分和$q$无关。这个结论可以直接数值检验。这个结果需要有别于我们在数值计算中的离散-积分转换,如果$q$很小, 视其为步长$a = q$,  对任意函数恒有

\begin{equation} I = \int f(x) dx = a \sum_i f(x = ia). \end{equation}


2017年第一次“证明”这个结论;2022年5月24整理。


recu.png

图 1.  本文主要参考论文.

sda.png

图 2.   各态历经在一个积分求和到积分变换中的应用.

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