岳东晓
兰切斯特战斗方程
2024-3-15 11:59
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前些天在讨论两军交战的兵力与单兵战斗力因素的时候,随手在微博中写下下列方程:

$\frac{dA}{dt} = - b B\\ \frac{dB}{dt} = - a A$

其中A,B为双方兵力,a,b 分别为双方战斗力系数(均为无量纲正数)。方程表达的是,一方兵力损耗速率等于对手的兵力乘以对手的单位战斗力。方程虽然简单,但却有 non-trivial 的结果。将第一个方程两边乘以 aA,第二个两边乘以 bB,然后两者相减。我们得到

$\frac{d (a A^2 -b B^2)}{dt} = 0$

也就是说 $a A^2 - b B^2 = const.$, 是系统的 invariant (不随时间变化)。代入初始值 $A_0,B_0$, 我们有

$a A^2 - b B^2 = a{A_0}^2 - b {B_0}^2 $

由这可以看出,战斗的胜负取决于双方的单兵战斗力乘以兵力的平方。单兵战斗力乘以兵力平方大的一方将取胜(对方缩减为零,而己方不为零)。如果一方兵力是另一方的N倍,则兵力少的一方单兵战斗力必须是N*N倍才能平衡。这是个有趣的结果。经查原来这是1916年一战期间被发现的一个规律,称为 Lanchester's Square Law (兰切斯特平方法则)。直到今天,在上述方程上修改发展的研究仍在继续。

至此我们并没有算出 A,B随时间的演化,如果我们想知道结束战斗需要的时间,这是必要的。为此,我们对两个方程两边微分,得到如下二阶方程组:

$\frac{d^2A}{dt^2} = ab A\\ \frac{d^2B}{dt^2} = ab B$

这两个线性方程在 A--B 置换下是完全对称的。而且我们知道它的解是 $e^{\pm \sqrt{a b}\ t}$ 的线性组合。粗看之下,我们似乎应该排除正指数,因为那样的项随着时间指数增长。但如果那样,我们就只剩下负指数项,结果是A、B同步按 $e^{- \sqrt{a b}\ t}$ 指数衰减,这也显然是错误的。这说明,我们必须保留 $e^{+ \sqrt{a b}\ t}$ 项。

设 

$A(t) = c_1 e^{-\sqrt{ab} \ t} + c_2 e^{\sqrt{ab} \ t} \\ B(t) = d_1 e^{-\sqrt{ab} \ t} + d_2 e^{\sqrt{ab} \ t} $

我们有下列初始条件方程组

$A_0 = c_1+c_2\\ B_0= d_1+d_2\\ -\sqrt{ab} c_1 + \sqrt{ab} c_2 = - b B_0\\ -\sqrt{ab} d_1 + \sqrt{ab} d_2 = - a A_0$

因此

$c_1+c_2=A_0\\ -c_1+c_2 = -\sqrt{b/a} B_0\\ 2 c_2 = A_0 -\sqrt{b/a} B_0\\ 2 c_1 =  A_0 +\sqrt{b/a} B_0$

因此

$A(t) = \frac{A_0 +\sqrt{b/a} B_0}{2} e^{-\sqrt{ab}\ t} +  \frac{A_0 -\sqrt{b/a} B_0}{2} e^{\sqrt{ab}\ t} $

而B 的表达只需进行A-B置换即可:

$B(t) = \frac{B_0 +\sqrt{a/b} A_0}{2} e^{-\sqrt{ab}\ t} + \frac{B_0 -\sqrt{a/b} A_0}{2} e^{\sqrt{ab}\ t}$

从上面的解看出,其实正指数项才是胜负的关键。以A为例,如果 $A_0 -\sqrt{b/a} B_0 <0 $(也就是 $ a {A_0}^2  - b {B_0}^2 <0$),则 A(t) 第二项的系数是负的,这将导致A(t) 早于B(t) 归零-也就是被消灭。

由此我们结论,对一支部队A 来说,在上面的战斗模型下,其总体战斗力为 $\sqrt{a} A$。也就是说,一支部队在这个充分投入的模型下总战斗力等于单兵战斗力的平方根乘以兵力,而不是单兵战斗力乘以兵力。

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