最近一条新闻吸引了很多人的注意：墨西哥博士生破解了2000年历史的光学难题。中英文媒体都会列出其结果的一个数学公式，看起来非常复杂。微信同学群里都在传这个新闻。我因此找来了这位名为 Rafael G. González-Acuña 的物理学家的论文看了一下，发现他的解决方法确实巧妙。但正是其巧妙把原本看来复杂的问题变成了一个简单的问题，完全没有超过中学代数与中学几何光学的难度。所以，我科普一下，消除媒体宣传渲染造成的神秘感、神奇感。

首先看问题是什么。其实就是一个透镜聚焦的几何光学问题。用照相机来拍一个物体，这个物体上的某一点 A 向各个方向发出光线，这些从A 发出的光线射到照相机镜头上，如果射到镜头边上的光线与射到镜头中心的光线在感光处没有聚在一点，这个 A 点的成像就会模糊。最容易加工的透镜一面是个球面的一部分，另一面是平的，但这种透镜的聚焦不是完美的。靠近透镜中心的光束能够比较好的聚焦，但是通过透镜边缘的光线就会偏离。如果有个镜头，能把A点发出的光线收集起来完美地聚在一点，A 的成像就会非常清晰。这个所谓2000年的光学难题就是算出能将整个镜头采集的光聚焦的镜头曲面。

这个问题当然早有人解决了。但之前得出的数学方程非常繁琐，而且有多个解。González-Acuña 的成果大大简化了相关的计算方程。下面我们看看他是怎么巧妙的表达这个问题并解决这个问题吧。参见下图：

图中蓝色部分为一个透镜，透镜左边的曲面 S1 是已知的，右边的曲面 S2 为未知需要求解的，条件要求是这个透镜能将 R 发出的光聚在 I 处。所以，问题中已知的是：R 与 I 的位置，镜头曲面 S1 的方程，S1位置，S1与S2中心点的距离（也就是透镜中心厚度），透镜的折射率。求解的是：曲面 S2 的方程 --- 如果有解的话。

González-Acuña 思路是：当光从 R 处射出到达透镜正面的A 点（任意一点），折射后然后在透镜内继续传播到达透镜背面的 B点，再到达 I 点。如果我们能够把 B点 的坐标用 A 点的坐标表达出来，不就是 S2 的曲面方程了吗？ 这个A到B的对应是其数学简化的关键。

从已知求未知，这要列出方程，然后解方程。如果直接运用折射定律，入射面的方程是已知的，光线 RA 到达 透镜入射面之后，计算出折射光线  AB 的方向是直接的。但是接下来的问题就很麻烦了，不仅要列出 B 点坐标的方程，还要列出B点的折射方程，使射出的光线正好能通过 I。而 B点的折射需要计算（未知）曲线S2 在B点的方向，得到的方程就是一个微分方程了。有兴趣的可以循着这条思路继续，硬着头皮知难而上。

但是 González-Acuña 使用了只需要代数的解决方案。这就是利用费马原理 -- Fermat's principle。上图中有一条特殊光线路径是直线通过透镜的中心：从 R 到 S1，到 S2，然后到 I。走这条直路需要的时间完全根据我们已知的条件可以确定。在这个问题里运用费马原理，光线通过不同路径从 R 到 I 的时间是相同的。也就是说，光线走　　Ｒ－＞Ａ－＞Ｂ－＞Ｉ　这条曲折的路线需要的时间竟然与走　Ｒ－＞Ｓ１－＞Ｓ２－＞Ｉ　这条直线的时间相等。根据时间相等的关系，我们列出的方程就只是一个简单代数方程 -- 计算不同路段的距离除以速度。

读者可能感觉奇怪，直线距离最短，为什么光走图中的曲折线花的时间与走直线的时间相等呢。首先，这是可能的，因为光速在透镜内与透镜外的速度不同，而走不同路线在透镜内与透镜外走过的距离不同。实际上，在这个问题里不同的光线路径需要的时间精确相等。

费马原理说：光线从一点到另一点的路线是花时间最少的路线。这个原理听起来很神奇，好像光有先知先觉似，事先知道哪条路花时间最短，而能总结出这个原理似乎更神奇。但其实古希腊人 Heron 在公元一世纪就给出了类似的表述，他总结出在光的镜面反射中，光是走距离最短的路径。费马则是把这个原理推广到了包含折射的情况。费马原理的介绍参见我这篇博文：《科普：用中学数学与费马原理推导折射定理》。我曾经介绍过，现有物理学可以归结为三个原理：相对性原理、作用量原理与规范原理。作用量原理可以说是费马原理在物理学里的进一步推广。

回到上图中的情况，光线从 R 到 I的一条路是直线，考虑临近这条直线的曲折线，既然光走时间最短的路线，而现在有两条路可走，那么这两条路的时间应该是相等的。以此类推，如果图中的情况是物理上可能的，所有路径的时间都应该相等。

设光速为c, 透镜折射率为 n （不焦虑色散） ，则透镜内光速为 c/n, d(a,b) 表示 两点 a,b 之间的距离。我们有如下方程：

d(R,A) + d(B,A) * n + d(B,I) = d(R, S1) + d(S1, S2) * n + d (S2, I)

 其中  R， S1,  S2, I 四点坐标为已知。A 点的坐标 为 (Xa, Ya), B 点坐标为 (Xb, Yb) 。上面的距离 d 的计算只是勾股定理。但是  Ya 与 Xa 的关系是已知的 -- 我们已知入射曲面的方程。因此对于任意一个 Xa，上面的方程只有两个未知数，就是 (Xb, Yb)。再根据A点的折射，我们可以计算出 A-B 的直线方程，这样又有一个 Xb,Yb 关系。两个方程，两个未知数，Xb, Yb 就解出来了。看看就知道，虽然只是代数方程，算起来还是相当繁琐。好在现在有很多计算机软件可以进行符号运算，把这些方程输入程序就 OK了。在论文中，也是用 Mathematica 来完成这项体力工作。

至此，困扰人类近2000年的镜片制造问题的解决方案也被我们学会了。

附图费马原理：

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