日夜的方程
精选
2018-7-9 08:40
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夏日炎炎。在网上偶尔看到一篇英文提到中国古代天文学,里面有个词“Winter Extreme"。顾名思义这是中文的”冬至”,英文叫 Winter Solstice。我之前一直想当然地认为“冬至”是冬天来到的意思。难道这个“至”确实是至极之意?查阅之后发现确实如此。《后汉书-律历志》注解中写道:“冬至之为极有三意焉:昼漏极短,去极极远,晷景极长。极者,至而还之辞也。” 冬至是白天时间最短的一天。还对极点给出了数学直觉极好的定义:到了然后返回之点 。Solstice 一词来自拉丁文,意思是太阳在天球上的纬度看起来不变之意。用数学术语来说,相当于一个曲线顶部的平坡处(导数为零)。殊途同归。冬至一词这个至字的含义我这才弄清楚,还是看了英文翻译才幡然醒悟。感觉需要继续思考一下相关问题了。
且让我们根据基本天文知识--地球自转的同时绕太阳公转---来写个数学公式,计算每天太阳升起与落下的时间,阳光投射角度随时间的变化等等。要做这个计算,需要先确定坐标。那么就让我们以冬至这点的状态设置坐标,然后开始计算。下图中,O是地球的球心,N是北极,S为南极,地球绕 NS 轴自转,P为地球表面一点; A 为太阳所在,但应该想象太阳在右边无限远处,阳光是平行的,方向是从A到地心的连线;地球绕太阳的轨道是在水平面上,DOE 线垂直于轨道平面;地球自转轴与 DOE 线的夹角为 $\beta$,就像个倾斜的陀螺。冬至日的时候,NOAD 四点在同一个面上,垂直于地球轨道平面。此时,地球自转轴与阳光的夹角 <NOA 就是地球自转倾角 $\beta$ 加上90度。计算 OP 与阳光 的角度 $\theta$ 是一个相当直接的几何问题。坐标设置如下图中的 XYZ 与 X'Y'Z'。