精选
在《科普自行车轮之神奇》我用牛顿第二定律分析了高速转动的车轮进动的问题。这个轮子进动看起来非常神奇，有兴趣的应该看一下相关视频。轮子这样横空而不倒，要简单的解释还真不容易，我在网上看到很多解释都稀里糊涂，才着手写了那篇博文。文中提到，如果看车轴与辐条系统（忽略辐条质量、不含轮圈），它受到轮圈重量产生的力矩，但没有倒下，那么这个平衡力矩从何而来？我文中用初中物理 F = ma 进行了解释与计算。
为了解决这个问题，我们不妨把柱子看成若干小段。小段１对小段２的作用力是 F12; 小段2对小段1的作用力的 F21 。如此类推。我们列出各段的牛顿动力学方程
$m_1 \ g + N + F_{2,1} = m_1 \ a_1\\
m_2 \ g + F_{1,2} + F_{3,2} = m_2 \ a_2\\
m_3 \ g + F_{2,3} + F_{4,3} = m_3 \ a_3\\...\\ m_n \ g + F_{n-1, n} = m_{n} \ a_n$
在上面的方程组两边叉乘该段的位置 r，然后再相加，我们发现同样可以把内力消去。例如
$\vec{r}_{1} \times \vec{F}_{2,1} + \vec{r}_{2} \times \vec{F}_{1,2} = (\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}) \times \vec{F}_{1,2} =0$
按照这个方案，我们得到下列方程
$r_{1} \times N + \sum_{1}^{n} m_i\ r_{i} \times g = \sum_{1}^{n} m_i \ r_i \times a_i$
取 O 为坐标原点，r1 =0，上面方程的 N 项就消失了！
$\sum_{1}^{n} m_i \ r_i \times a_i = \sum r_i \times \frac{d p_i}{dt} = \sum \left[ \frac{d(r_i \times p_i)}{dt} - \frac{dr_i}{dt} \times p_i \right] = \frac{d \left(\sum{r_i \times p_i} \right)}{dt}$
$\sum m_i \ r_i \times g = g \cos \theta \sum m_i \ r_i = \frac{1}{2} MgL\cos\theta$
$\sum r_i \times p_i = - \sum m_i \ r_i \ r_i \frac{d\theta}{dt} = - \frac{1}{3} ML^2 \frac{d\theta}{dt}$
因此，动力学方程为
$\frac{1}{3} ML^2 \frac{d^2\theta}{dt^2} = - \frac{1}{2} MgL \cos\theta$
或者说
$\frac{d^2\theta}{dt^2} = - \frac{3g}{2L} \cos\theta$
精通力矩及角动量的读者当然可以从上面看到它们的身影。
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