前几天我看到一个新闻提到三星公司的量子点显示器（Quantum Dot Display），准备写篇 Quantum Dot 的介绍，其中有个概念叫着 “电子空穴”(electron hole) ，想举个经典力学的例子作为比较，于是联想到水中的气泡的运动。结果发现这个水中空穴的问题还挺有意思。因此，我专门写篇博文。
考虑这个问题，一个体积为V的质量为m的空心球从深水处释放开始上浮，F=ma, 请计算球的初始加速度。水的密度为 d，重力加速度为 g。
很多人可能回答：根据阿基米德两千多年前的发现，空心球受到的浮力是排开水的重量，Fb = d V g。 取向上为正方向，空球上的力为 F = Fb - mg = - (m- dV) g 。加速度 a = (d V g - mg)/m = (dV/m -1) g 。这看起来没错。我们总结说，空心球的加速度等于空心球排开水的质量除以空心球的质量减去1，再乘以重力加速度。对比一般物体的重力公式，我们发现空心球的有效引力质量为 m - dV 。对于轻球，这个值是负的。负引力质量出现了。
但这个结果显然有问题。空球可以做得很轻，排开水的质量与球质量的比可以很大。我们可以想象一个极端情况，球相当大，主要质量来自里面的空气，球壳可以忽略。水的密度（1000 kg/m^3）是空气密度(1.225 kg/m^3) 的816 倍。
上面的结果竟然说空心球的加速度达到 815 g 。不可能。但是问题在哪？
有人可能说，水的阻力呢？ 水的阻力与球速度有关，速度为零，阻力为零，而球的初始速度为0 。查看我们上面的全部论证似乎无懈可击。我们只能质疑阿基米德或者其适用条件了。
浮力是全部压力的总和，球下部压强大，这个差别求和之后就得到了浮力公式。但是阿基米德原理考虑的是水处于静止平衡的状态的情况，我们的情况里，球向上加速运动必然会推动水的加速运动，水不再处于静平衡，球附近水的压强跟静止情况不同，阿基米德不能简单套用了。怎么办？
一个办法是运用流体力学，要解微分方程。难道没有更简单的方法得出一个基本正确的结果？我这里给出一个思路，这个思路在粒子物理以及凝聚态物理中都会用到。在粒子物理中，当年狄拉克提出一个电子海的概念，他想象真空填满了无限深的负能量的电子，叫着电子海。有人曾问狄拉克，如果真空有无穷多的电子，我们怎么没有被电击倒。对此，狄拉克只能说，处于这个电子海里就像鱼在水中不觉得水的存在一样。当然，现在看来，狄拉克这个电子海的概念在今天看来已经过时了，但其启发性是不可忽略的。当这个负能量的电子海里的一个电子获得能量成为正能量的电子，那么电子海就会出现一个空穴。计算发现这个空穴的质量跟电子一样，电荷是正的，称为正电子。后来，正电子被发现了。今天，正电子甚至被用于医疗成像，PET 扫描的P就是 positron --正电子。类似的空穴等于粒子的概念在凝聚态物理的能带理论中也有。
我们不妨按照类似的思路计算一下水下空心球的有效惯性质量。为此，我们考虑这个水+球系统，计算当球的速度是 v 时，系统的机械动能 E_k。球本身的动能很简单，我们需要思考的是水的动能。如下图，设球本来在位置A，以速度 v 运动到位置 B。
最简单的物理图像是，这相当于原来在B处的水在同一时间内运动到了 A。如果是这样，那么水的动能 E_kw 将是 $E_{kw} = \frac{1}{2} \rho_w V v^2$ 。 但这并不是实现这个结果动能最少的情况。B处的水可以流向中间的C处，而 C 处的水同时流向 A。这样，水的流速减半。水的总动能是
$E_{kw} = 2 \times \frac{1}{2} \rho_w V (v/2)^2 = \frac{1}{2} [\frac{\rho_w V}{2}] v^2$
系统的总动能 E_k 是球的动能加上水的动能，
$E_k = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} [\frac{\rho_w V}{2}] v^2 = \frac{1}{2} \left[ m+ \frac{1}{2} \rho_w V \right] \hspace{1mm} v^2$
对比动能公式，我们发现在这个水流模式假设下，水中球的等效机械质量为:
$m_i = m+ \frac{1}{2} \rho_w V$
也就是说，水中球的等效惯性质量等于 球排开的水的质量的一半加上球本身的质量。当然，这个等效质量与水流的模式有关，但可以看出，这个等效质量也取决于球所在介质的属性。这可以叫质量重整化。
设空心球纵坐标为y, 如果我们写下 水+空心球整个系统的重力势能 U，
$U= U_0 - V\rho_w g y + mg y = U_0 + (m - V\rho_w)g y$
U_0为一常数。可见，水中球的引力质量为：
$m_g = m - \rho_w V$
也就是说，水中球的等效引力质量等于球的引力质量减去所排开水的引力质量。这个等效引力质量可以是负的。这与半导体中空穴的电荷与电子电荷相反类似。
水中球的加速度是：
$a = \frac{m_g } {m_i} g = \frac{m-\rho_w V}{m+ \frac{1}{2}\rho_w V} g$ .
这么一个看似简单的问题，居然可以引发各种深刻的物理概念。大家可以进一步思考，补充。
转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自岳东晓科学网博客。
链接地址：https://wap.sciencenet.cn/blog-684007-1010904.html?mobile=1
收藏
分享
