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引言：从威滕的菲尔兹奖说起
伟大的科学巨匠中，爱因斯坦在公众中的影响力无人能比，他的头像连小学生都认识，他的名字家喻户晓。如今，这位伟人离开这个世界已经超过了半个世纪，他所作出的几项最杰出的贡献，包括1905年提出光电效应和狭义相对论，以及1915年建立的广义相对论，也都已经是100年之前的故事了。伟人是否后继有人呢？这几十年的历史时期中，为了继承这位先辈的衣钵，理论物理学家们作了哪些努力？
十分令人感到遗憾，爱因斯坦将他天才的后半生贡献给了一项前途渺茫的研究。他一直在理论物理中寻找一条统一之路，企图将所有的物质及各种基本的相互作用，囊括在一个单一的理论框架中。尽管爱因斯坦为此奋斗了几十年没有获得成功，但这个大统一之梦，已经深深扎根在理论物理学家们的心中，一直是理论物理学研究的中心问题之一。
1951年，也就是爱因斯坦在72岁寿诞时留下他那一张著名的吐舌头照片的那一年，一个婴儿降生在美国巴尔的摩，一个研究广义相对论的犹太裔理论物理教授家里。
图1.1：爱因斯坦72岁那年，威滕诞生于离普林斯顿不远的巴尔的摩
他就是现在普林斯顿高等研究院的数学物理教授，如今已成为最著名的理论物理学家之一的爱德华·威滕（EdwardWitten，1951-）。
尽管父亲路易斯•威滕是研究广义相对论的理论物理学家，年轻时威滕的梦想却是走向人文之路。他高中毕业后进大学主修历史，打算将来成为一名政治家或记者，毕业后还曾经参与支持一位民主党候选人的总统竞选工作。不过后来，他感觉从政的道路上容易迷失自我，因此“半路出家”、“迷途知返”而杀向了理论物理。从他21岁进入普林斯顿大学研究生院开始，他对物理及数学的兴趣骤增，并且钻进去便一发不可收拾。由于威滕在物理及数学领域表现出与众不同的才能，29岁便被普林斯顿大学物理系聘为教授。
威滕的物理直觉惊人，数学能力超凡。上世纪80年代，笔者在奥斯丁大学相对论中心读博期间，听过与温伯格一起工作的，一位年轻而知名的弦论物理学家评价威滕。具体原话记不清楚了，大意是说：在当今的粒子物理领域中，只有威滕是理论物理学界的莫扎特，相比而言，我们都只能算作宫廷乐师！
那位物理学家当年还津津有味地描述了1984年11月的那天，威滕在普林斯顿大学就弦论作报告时的精彩热闹情景。威滕这位当时涉猎弦论和量子场论并不太久的年轻人，以他关于卡拉比-丘流形紧化的文章【1】，在理论物理界掀起了一个超弦风暴。后来人们用“第一次超弦革命”来命名这段弦论红火的短暂时期。
到了1990年，弦论研究处于低谷，却传来了国际数学联盟授予威滕数学界最高奖项--菲尔兹奖的消息。
爱德华·威滕是第一位，也是迄今为止唯一的一位被授予菲尔兹奖的物理学家。
著名英国数学家迈克尔·阿蒂亚（MichaelAtiyah），当年被邀请在菲尔兹奖颁奖大会上介绍爱德华·威滕的工作，他因事未能出席大会，但他在书面发言中如此评论威滕：【2，3】
“虽然他绝对是一位物理学家，但他对数学的驾驭能力，足以与数学家媲美……他一次又一次超越了数学界，以巧妙的物理直觉导出新颖深刻的数学定理……他对现代数学影响巨大……凭着他，物理再次成为数学的丰富灵感和直觉的源头。”
的确如此，从威滕几百篇论文涉及的课题来看，大多数是物理方面的。他是弦论的开创者，研究量子场论的专家，1995年，他提出的M-理论掀起弦论的第二次革命。除了物理之外，威滕对相关的数学方面作出许多贡献，我们在后面的章节中还会介绍，这儿就其与菲尔兹奖有关的工作简单概括为如下几点。
（一）正能量定理
爱因斯坦广义相对论的核心是引力场方程。著名美国物理学家约翰·惠勒曾经用一句话来概括广义相对论：“时空告诉物质如何运动，物质告诉时空如何弯曲”【4】。这句话的意思就是说，时空和物质通过引力场方程联系到了一起。这个方程的一边是物质的能量动量张量，另一边则是由四维空间的曲率及其导数组成的爱因斯坦张量。引力场方程的解描述在一定的物质分布下时空的几何性质，它实际上是一个二阶非线性偏微分方程组，要想在数学上求得此方程组的解非常困难。方程只在某些特殊情形下有解析解，比如，引力场方程的真空解是平直的闵可夫斯基四维时空；物质分布为球面对称的准确解称为史瓦西解。
尽管求解引力场方程困难重重，但根据它来研究物质及空间的种种性质却行之有效。为此物理学家们作了种种努力，正能量定理（或称正质量猜测）便是沿此思路而导出的一个漂亮结果。定理的大意如此：如果在一个引力系统中，物质被包围在一个有限的范围内的话，引力场方程的解是渐近的闵可夫斯基四维时空，也就是说，在距离这个物质区域足够远的地方，时空可以近似看作是平坦的。对这类渐近平坦引力体系，可以定义一个总能量值，即系统的全部能量之和。人们猜测：这个值是一个正数或零，并且，当且仅当该引力系统是完全平坦的闵可夫斯基空间时，该总能量值才会为零。进一步，从这个定理可以推出闵可夫斯基空间是引力场方程的一个稳定基态解。
是美籍华裔数学家丘成桐，使用非线性偏微分方程中的极小曲面理论，在1979年对此猜想给出了一个完全的证明。这在当时是一个了不起的工作，也是丘成桐之后获得Fields奖的主要成就之一。
两年后的1981年，威滕用线性偏微分方程理论，源于物理中经典超引力的思想，对正能量猜测给出了一个十分简洁的证明【5】。
（二）Morse理论
记得在中科院理论物理所读研时，指导教授用一个笑话来解释拓扑方法与分析方法的区别：
人们需要捕获山中的一只老虎。如何解决这个难题呢？作数学分析的专家回答：你们必须首先选择一个坐标，确定老虎某时某刻所在的准确位置，老虎离你们的距离等等，然后，吧啦吧啦吧啦……。而拓扑学家则说：不需要那么复杂的细节呀，你们只要建好一个关老虎的笼子，然后，再对整个空间作一个拓扑变换，将笼子外变换成笼子内，老虎不就关进笼子里了吗……
这个笑话也许不算十分准确，但却大概地表明了拓扑学的基本方法：它不在乎位置、距离、大小这些与度量有关的东西，而只研究曲线或曲面（或流形）连续变换时的性质。
不过实际上，拓扑的方法与分析的方法是可以关联起来的。研究表明，流形的整体拓扑性质，可以与流形上函数的性质密切相关。莫尔斯（Morse）理论，就是通过研究流形上的函数性质，来得到流形的拓扑信息。
莫尔斯理论是微积分与拓扑的结合，属于微分拓扑范畴。它通过研究流形上的函数全部临界点的性态，来探索流形的整体拓扑性质，因而也被称为临界点理论。所谓临界点，就是一阶导数为0的点，对应于大家熟知的平面曲线上的极值点，是这个极点概念在泛函、变分、和流形上的推广。莫尔斯理论的核心是莫尔斯本人于1925年推广极小极大原理而得出的莫尔斯不等式。
威滕的工作则是给出了Morse不等式的一个新证明，把临界点理论和同调伦联系起来。人们认为，威滕1982年就此工作发表的论文标志着“量子数学”的开端【6】。
（三）Knots扭结理论
扭结理论是拓扑学的一个分支，它研究的是嵌入三维空间中的一维圈状图形的拓扑结构，因而又将其俗称为“绳结的数学”。从人类文明之初开始，绳结就与人类的生活纠结在一起，简单如系鞋带，复杂如织毛衣，这些生活体验都与绳结的结构相关联，还有历史悠久传遍世界的美丽而智慧的“中国结”，更是一个令国人自豪的例子。
虽然绳结的历史已有几千年，“扭结”发展成数学上的一门学科，却只是一百多年之前的事，这得归功于数学王子高斯（CarlFriedrich Gauss，1777-1855）。
拓扑学研究中的核心问题之一是拓扑变换中的不变量。不变量具有将不同拓扑形状分类的能力，各种拓扑不变量的分类能力有所不同，有的能力强，有的能力弱。找到能力更强的拓扑不变量是拓扑学研究的目标之一。在扭结理论中，有一类重要的不变量以多项式的形式表示，最早（1923年）提出的亚历山大多项式一直被用来对各种扭结形态分类，但人们发现它的能力不够强，无法区分某些显然不一样的扭结，比如手征性不同的扭结，这个困难直到60多年后的1984年才被新西兰数学家沃恩·琼斯（VaughanJones，1952-）发现的琼斯多项式（jonespolynomial）所解决。琼斯由此而在1990年，与威滕等共4名数学家共同分享该年的菲尔兹奖。
威滕的贡献则是将琼斯多项式的有关理论带到了物理学界，将规范场理论中使用的陈省身- 西蒙斯理论（Chern–Simonstheory）与琼斯多项式结合起来，他的方法对低维拓扑的研究有深远影响。因为威滕的工作，扭结理论重新成为理论物理学家们的宠儿【7】。对此我们将在后面正文的“拓扑”部分作更多的介绍。
其实，历史地看，威滕作为一个理论物理学家得到菲尔兹奖，也不是很奇怪的事情。理论物理和数学，本来就是同宗同源的兄弟，他们时分时合，源远流长，交叉渗透，互相影响。从伽利略和牛顿开始，到高斯、傅立叶、麦克斯韦、庞加莱、希尔伯特，以及近代的杨振宁、威滕等等，一个个人物都既懂物理，又通数学。更有趣的是，物理学界称他们为物理学家，数学界则称他们为数学家。因此，自古以来数理同源，数学为物理学家提供解决问题实现理论的漂亮手段，物理则在一定程度上，成为数学家灵感和直觉的重要源泉。
这个博文系列将带领你追溯数学物理的源头，从微积分及变分法的发现历史开始，到相对论与黎曼几何，量子理论与拓扑，以及群论和随机过程在物理中的应用等等，带你进入数学物理及与其发展紧密相关的理论物理的大门。
参考文献：
【1】PCandelas, GT Horowitz, A Strominger, E Witten，Vacuum configurations forsuperstringsNuclear Physics B 258, 46-74，1985
【2】L DFaddeev, On the work of Edward Witten, Addresses on the works of Fieldsmedalists and Rolf Nevanlinna Prize winner (Tokyo, 1990).
【3】MAtiyah, On the work of Edward Witten, Proceedings of the International Congressof Mathematicians, Kyoto, 1990 I (Tokyo, 1991), 31-35.
【4】Wheeler,John A. (1990), A Journey Into Gravity and Spacetime, Scientific AmericanLibrary, San Francisco: W. H. Freeman
【5】E,Witten: A new proof of the positive energy theorem, Comm. Math, Phys. 80 (1981)，381
【6】E.Witten; Supersymmetry and Morse theory. J. Diff. Geom. 17 (1984) 661
【7】E.Witten: Quantum field theory and the Jones polynomial, Comm, Math, Phys, 121
(1989) 351
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