条条道路通混沌
英国沃里克大学的数学家和科普作家伊恩·斯图亚特在他早期一篇有关混沌的文章中，谈到“混沌有何用处”的问题时曾说过，这个问题有点像是问：“一个新生儿有何用处”一样。新生儿需要长大成人，一个新生的理论也是如此，在它产生实际应用之前需要有一个成熟的过程。令人鼓舞的是，混沌理论问世之后几十年，已经应用于许多学科，既用于科研，也用于解决实际问题。
在实际存在的系统中，从有序转变到混沌有各种各样的途径，我在混沌系列科普文章中讨论过的‘倍周期分岔’到混沌是道路之一。还有些什么其它方式呢？我们先研究一下一个简单物理系统：单摆中的混沌现象。
那是一个400多年前的故事：在意大利比萨城的大教堂里，众多的祈祷者中，有一个年轻人却目不转睛地盯着天花板上不停摆动的吊灯……
他不是在怀疑巨大沉重的吊灯会突然掉到人群头顶上而酿成大灾祸，也不像是在欣赏古老灯盘上的艺术花纹。只见他用右手指按住自己左手腕的脉搏，心中像是正在默默地计数。最后，旁观者终于明白了，原来他是在计算这吊灯每分钟摆动的次数，或者说，用他的脉搏来测量吊灯每摆动一次所需要的时间。
这个当时不到20岁的青年人名叫伽利略。他就从这个简单的、长年累月无人注意的吊灯的摆动现象中，发现了一个伟大的物理定律：尽管吊灯摆动时的幅度可大可小，但摆动的周期却是一样的！
接着，伽利略又对这种后人称之为‘单摆’的物理系统，进一步做了大量的实验，得出了单摆在小幅度摆动时的运动规律：摆动的周期T只与摆长 L有关，而与摆锤重量及摆幅大小无关。
T = 2*π*sqrt(L/g) （1）
之后，惠更斯利用摆的这种“等时性”发明了钟表，单摆的这个简单原理在机械钟表制造中沿用至今。单摆的简单而易于理解的运动规律，也使它成为中学的经典物理教学中，必不可缺的内容。
图（1）单摆的线性模型
四百多年后，当洛伦茨用“蝴蝶效应”一词，搧起了科学界的混沌风暴之时，物理学家们也回过头去重新认真考察类似单摆这种貌似简单的物理系统。
其实，物理学家们早知道单摆运动定律的极限，如图（1），单摆的“等时性”本来就是建立在摆动振幅比较小的时候的线性数学模型基础上。也许是因为线性模型在物理学中太成功了，经典科学家们在线性近似的汪洋大海中沉溺颇深，每个人都明白钟摆的工作原理，每个物理教师都能够在课堂上头头是道地解释公式（1）的来龙去脉，每个学过中学物理的学生都做过简单的测量单摆周期T的实验。可是，对此简单现象，大师级人物认为不屑一顾，普通人不过人云亦云，很少有人去认真探索和思考：一个更符合实际情况的，非线性的，特别是在既有阻尼，又有外力作用下的单摆，将如何运动呢？
这个简单的经典课题在‘混沌理论’的冲击下展现了它的丰富多彩的崭新面貌。
回头考虑公式（1）。它是在一系列近似假设下得出的结论，这些假设条件包括：
单摆是没有外力作用下的自由运动；
单摆运动时没有阻尼和摩擦，也就是说，一旦摆起来，便永远摆下去；
摆动角度很小，因此角加速度和摆动角度成线性关系。
正如图（1a）所示，单摆的运动可以用摆线相对于垂线方向偏离的角度q来描述。物理学中通常用相空间中的轨迹来描述运动状态随时间的演化，单摆的相空间则是由角度q及角加速度w形成的二维空间。符合以上小振幅近似条件的单摆，其相空间的轨迹是一个椭圆，如图（1b）所示。
如今，对单摆系统的研究表明：单摆的模型虽然简单，但在上述假设条件不成立的情况下，却能产生极其复杂、包括混沌在内的多种动力行为。
从单摆的实验观测到，非线性的单摆有多种通向混沌的道路。比如，我们可举如下一种情形为例。当观察一个既有阻尼，又有外加驱动力的单摆的运动，将会发现：
1．当外加驱动力较小时，因为摆幅也小，单摆服从线性模型规律，比如等时性；
2．当外加驱动力逐渐加大，单摆不再维持单一的振动频率，运动状态成为多个频率的组合，其中包含2倍频、4倍频……又同时还有不是倍数的、甚至于不能公约的其它频率……
3．外加驱动力继续增大，单摆在振动的过程中，有时出现转动……
4．外加驱动力增大到某个数值之后，出现转动的几率增大，单摆表现出无规律地交换振动和转动模式。一忽儿振动，一忽儿又转动，但其振动及转动的次数、位置、方向，看起来都是貌似随机的、不确定的。这象征着混沌魔鬼现身了。
以上所描述的单摆运动从有序走向混沌的过程，也可从其相空间轨迹的变化情形看出来。当外加驱动力逐渐增大时，原来的椭圆图形逐渐发生变化。开始时，如果单摆继续维持周期运动，相空间轨迹成为绕着中心转圈的封闭曲线。之后，曲线逐渐变形、破裂，表征转动模式的加入。再后来，破裂越来越多，发生得越来越频繁，最后产生混沌，如图（2）所示。
图（2）从有序到混沌
根据实验观测结果，单摆的参数变化时，椭圆图形有多种变化方式，由于变化参数选取的不同而不同。也就是说，除了我们在描述逻辑斯蒂系统产生混沌中提到的‘倍周期分岔’的道路之外，从单摆运动还观察到系统从有序过渡到混沌的多种途径，这个‘条条大路通混沌’的特点，在别的动力系统中也被观测所证实。以下对几种常见的‘通向混沌之路’作一简单介绍：
１. 倍周期分岔道路【1】
图（3）倍周期分岔
如图（3）所示，系统通过周期不断加倍的方式逐步过度到混沌。实验室中研究混沌时经常观察到的、最基本的通向混沌之路。
２. 准周期道路【2】
系统的周期运动发生变化的情形，后来的周期并不总是一定要变成原来周期的倍数。特别当非线性扰动中有其它频率的分量时，若干个周期不同的信号便叠加起来。如果这些信号周期的最小公倍数不存在，则叠加后的信号为准周期信号。由于准周期信号的不断产生而最终导致混沌的现象，称作准周期通向混沌的道路。
３. 阵发性混沌道路【3】【4】。
系统参数变化时，原来的规则运动逐渐被一种随机的、突发性的冲击所打断。这种无规律的突发冲击越来越广阔，越来越频繁。系统以这种通过混乱的间歇加入，而逐渐转变为完全混沌状态的过程，称为‘突发混沌之路’。在自然界、社会经济、股市涨落中，经常有此类现象发生。湍流的形成过程中经常伴随着‘突发混沌’现象。
４. 椭圆环面破裂道路【5】
从单摆的混沌实验，就观察到这种现象。满足小幅度条件下的单摆，相空间轨迹是如图（1b）中所示的椭圆。之后，转动模式加入，椭圆曲线逐渐变形、破裂，再后来，破裂越来越多，发生得越来越频繁，还可观察到相空间轨迹呈现出包含精细结构的自相似性质。最后，走向混沌，见图（4）。
图（4）环面破裂混沌之路
通向混沌还有许多其它道路，特别在高维模型中，还有更丰富的混沌发展模式。
【1】P. Collet, J.-P. Eckmann, H. Koch,"Period doubling bifurcations for families of maps on "，J. Stat. Phys. , 25 (1981) pp. 1–14
【2】Waldner F, Barberis DR, Yamazaki H.，“Route to chaos by irregular periods: Simulations ofparallel pumping in ferromagnets”，Phys Rev A. 1985Jan;31(1):420-431.
【3】Yves Pomeau and Paul Manneville,Intermittent Transition to Turbulence in Dissipative Dynamical Systems, Commun.Math. Phys. vol. 74, pp. 189–197 1980。
【4】E.Ott and J.C. Sommerer, Blowoutbifurcations: the occurrence of riddled basins and on-off intermittency,Physics Letters A, vol. 188, 1994, pp. 39–47
【5】P. M. Battelino, C. Grebogi, E. Ottand J. A. Yorke, Chaotic attractors on a 3-torus and torus break-up, Physica D39 (1989), 299-314.
有关单摆的文章：
【6】“Chaoticstates and routes to chaos in the forced pendulum”，D.D'Humieres, M. R. Beasley, B. A. Huberman, A. Libchaber. Physical Review A,Vol. 26, No. 6. (Dec 1982), pp. 3483-3496,
【7】“ChaoticOscillations of Non-ideal Plane Pendulum Systems”，Aleksandr Yu.，Shvets， and Alexander M. Makaseyev，Chaotic Modeling and Simulation (CMSIM) 1: 195-204,2012
http://wwwNaNsim.eu/papers_pdf/january_2012_papers/18_CMSIM_2012_shvets_makaseyev_1_195-204.pdf
【8】“The PathFrom the Simple Pendulum to Chaos”，student report：
http://fraden.brandeis.edu/courses/phys39/chaos/Bevivino%20Student%20rept%20pendulum.pdf
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