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《趣谈概率和统计》之9
苏格拉底和他的学生柏拉图都是古希腊著名的哲学家。一天，柏拉图问苏格拉底：什么是爱情？苏格拉底叫他到麦田走一趟，目标是要摘回一棵最大最好的麦穗，但只可以摘一次，并且不许回头，路径不能重复。柏拉图以为很容易，但最后却空手而归，原因是他在途中看到很不错的，却总希望后面有更好的，使得最终错失所有的良机。苏格拉底告诉他：这就是爱情！
之后又有一天，柏拉图问苏格拉底：什么是婚姻？苏格拉底叫他到树林走一次，争取带回一根最好的树材，照样只采一次不许回头。最后柏拉图拖了一棵中等材质的树枝回来，原因是因为他接受了上次的教训，走了半途之后看到“差不多”的树就做决定了！苏格拉底说：这就是婚姻。
两位哲学家用麦穗问题来形象地比喻爱情婚姻之不同：前者是错过了的美好，后者是人生旅途中权衡之后某个时候的决择。人文学者及公众都为这段颇富哲理的名人小故事津津乐道。数学家们却从完全不同的、概率及统计的角度来解读它。
麦穗问题虽然很通俗，但却与“随机过程”有关。每棵麦穗的大小都可以看作是随机的，因此，当柏拉图在麦田中走一圈时，碰到一个又一个排成序列的随机变量，这不就是一个随机过程吗？
加以数学抽象之后的麦穗问题，等效于概率及博弈论中著名的秘书问题【1】，它还有多种变换版本：未婚夫问题、止步策略、苏丹嫁妆问题等等。下面我们用“傻博士相亲”的故事来叙述它，并介绍如何将微积分的基本概念用于分析随机过程。
且说几年前留学人员中有一位外号“傻博士”的学人，精通数学，小有成就，唯有一老大难问题尚未解决：已经将近40岁还没有交上女朋友。于是，那年他奉母命回国相亲，据说半个月之内来了100名佳丽应召。后来，这位傻博士经过严格的数学论证，采用了一种他认为的“最佳策略”，终于百里挑一，赢得美人归，如今已是儿女一双，其乐融融，在硅谷传为佳话。
这里还需加上一段话，描述傻博士母亲设定的条件。人们常说，有其父必有其子。对傻博士之母则用得上“有其子必有其母”，母亲要求他在这15天之内，要对这100位佳丽一个一个地面试，每位佳丽只能见一次面，面试一个佳丽之后立即给出“不喜欢”或“喜欢”的答案。如果“不喜欢”，则以后再无机会面试该位女子，如果答案是“喜欢”，则意味着博士选中了这位女子，相亲过程便到此结束。
看到这儿，你也许已经能领会到这个“博士相亲”与“麦穗问题”本质上是一致的了。那么，对于母亲这种“见好就收，一锤定音”的要求，傻博士的“最佳策略”又是怎么样的呢？
既然是“最佳”，那应该用得上微积分中的最优化、求极值的技巧吧。果然是如此，我们首先看看，傻博士是如何建造这个问题的数学模型的。
这看起来是个概率的问题。假设，我们想象，按照傻博士对女孩的标准，将100个女孩作了一个排行榜，从1到100编上号，“#1”是最好的，然后，“#2”、“#3”……。当然，傻博士并不知道当时每一次面试的女孩是#多少。这些号码随机地分布在傻博士安排的另一个面试序列（1、2、3、…r…i…n）中，见图1。傻博士的目的就是要寻找一种策略，使得这“一锤定音”定在“#1”的几率最高。
设想一下，傻博士可以有好多种方法做这件事。比如说，他可以想得简单一点，预先随意认定一个数字r（比如将r固定为等于20），当他面试到第r个人的时候，就定下来算了。这时候，因为r是100中挑出来的任意一个，所以，这个人是“#1”的几率应该是1/100。这种简单策略的几率很小，傻博士觉得太吃亏。比如说，当他面试到第20个人时，如果看到的是个丑八怪（或者疯女子）也就这么定下来吗？显然这不是一个好办法。那么，将上面的方法做点修正吧：仍然选择一个数字（比如r=20），但这次的策略是：他从第20个人开始认真考察，将后面的面试者与前面面试过的所有人加以比较，比如说，如果傻博士觉得这第20个面试者比前面19个人都好，那便可以“见好就收”，否则，他将继续面试第21个，将她与前面20人相比较；如果不如前面的，继续面试第22个，将她与前面21人相比较；……如此继续下去，直到面试到比前面的面试者都要更好的人为止。
图1：傻博士相亲的最佳策略
根据图1，总结一下傻博士策略的基本思想：对开始的（r-1）个面试者，答复都是“不喜欢”，等于是“忽略”掉这些佳丽，只是和她们谈谈玩玩观察了解一下而已，直到第r个人开始，才认真考虑和比较，如果从r开始面试到第i个人的时候，觉得这是一个比前面的人都要更中意的人，便决定说“喜欢”，从而停止这场游戏。图1中还标出了一个“临时最佳者”，这和实际上隐藏着的排行榜中的“#1”是不同的。“临时最佳者”指的是傻博士一个一个面试之后到达某个时刻所看到的最好的佳丽，是随着傻博士已经面试过的人数的增加而变化的。
这儿便有了一个问题：对100个人而言，到底前面应该“忽略”掉多少个人，才是最佳的呢？也就是说，对n个面试者，r应该等于多大，才能使得最终被选定的那个面试者，是“#1”的几率最大？r太小了当然不好，比如说，如果令r=2，那就是说，只忽略第一个，如果第二个比第一个好的话，就定下了第二个，当然也可能继续下去，但很有可能使你的决定下得太快了，似乎还没有真正开始面试，过程就结束了！r太大显然也不行，比如说，令r=99，那就是说，从第99个人才开始比较。如此办法，因为忽略的人数太多，当然，“#1”被忽略掉的可能性也非常大，面试了这么多的人，将傻博士累得半死，却不得好报，选出#1的几率只是大约为2/100而已。
也许，应该忽略掉一半，从中点开始考察？也许，这个数k符合黄金分割原则：0.618？也许与另外某个有名的数学常数（p 或e）有关？然而，这都是一些缺乏论据的主观猜测，傻博士是科学家，还是让数学来说话吧。
我们首先粗糙地考察一下，如果使用这种方法的话，对某个给定的r，应该如何估算最后选中#1的几率P(r)。对于给定的r，忽略了前面的r-1个佳丽之后，从第r个到第n个佳丽都有被选中的可能性。因此，在图1下方的公式中，这个总概率P(r)被表示成所有的P(i)之和。这儿的i从r到n逐一变化，而P(i)则是选中第i个佳丽的可能性（概率）乘以这个佳丽是#1的可能性。
选中第i个佳丽的可能性是多少？取决于第i个佳丽被选中的条件，那应该是当且仅当第i个佳丽比前面i-1个都要更好，而且前面的人尚未被选中的情形下才会发生。也可以说，第i个佳丽被选中，当且仅当第i个佳丽比之前的“临时最佳者”更好，并且这个临时最佳者是在最开始被忽略的r-1个佳丽之中。因为如果这个临时最佳者是在从r到i之间的话，她面试后就应该被选中了，然后就停止了“相亲过程”，第i个佳丽不会被面试。
此外，这第i个佳丽是#1的可能性是多少呢？实际上，按照等概率原理，每个佳丽是#1的可能性是一样的，都是1/n。因此根据上面的分析，我们便得到了图1所示的选中#1的概率公式。
从公式可知，选中#1的概率是傻博士策略中开始认真考虑的那个点r的函数。读者不妨试试在公式中代入不同的n及不同r的数值，可以得到相应情况下的Pn(r)。比如说，我们前面所举的当n=100时候的两种情形：P100(2)大约等于6/100；P100(99)大约等于2/100。
下面问题就是要解决：r取什么数值，才能使得Pn (r)最大？如果我们按照图1的公式计算出当n=100时，不同r所对应的概率数值，比如令r分别为2、8、12、22……等等，将计算结果画在Pn (r)图上，如图2a所示。我们可以将这些离散点连接起来成为一条连续曲线，然后估计出最大值出现在哪一个点r。这是求得P(r)最大值的一种实验方法。
图2：相亲问题中n=100时的概率曲线
然而，我们更感兴趣从理论上分析更为一般的问题。那就要用到微积分了。如果能给随机变量建立一套类似于普通微积分的理论，让我们能够像对普通的变量做微积分那样对随机变量做微积分。
在普通微积分里面，最基本的理论基础是“收敛”和“极限”的概念，所有其他的概念都是基于这两个基本概念的。对于随机过程的微积分，在数学家们建立了基于实分析和测度论的概率论体系之后，就可以像当初发展普通微积分那样先建立“收敛”和“极限”这两个概念。与普通数学分析不同的是，现在我们打交道的是随机变量，比以前的普通的变量要复杂得多，相应建立起来的“收敛”和“极限”的概念也要复杂得多。
在随机微积分中的积分变量是随机过程（比如说无规行走）。无规行走是时间的一个函数，但是却有一个特殊的性质：处处连续但是处处不可导。正是这个特殊的性质使得随机微积分与普通微积分大不相同。
实际上的随机微积分一般都既牵涉到普通变量时间t，又牵涉到随机变量W(t)。所以，进行随机微积分时，如果碰到跟t有关的部分就用普通微积分的法则，而碰到跟W(t)有关的部分时就使用随机微积分的法则。
首先，我们想一个办法将Pn(r)变成r的连续函数，因为只有对连续函数，才能应用微积分。为了达到这个目的，我们分别用连续变量x=r/n、t=i/n来替代原来公式中的离散变量r和i。此外，最好使得研究的问题与n无关。因此，我们考虑n比较大的情形。n趋近于无穷大时，1/n是无穷小量，可用微分量dt表示，而公式中的求和则用积分代替。如此一来，图1中P(r)的表达式对应于连续函数P(x)：
（1）
图2b画的是连续函数P(x)（=- x ln x）的曲线。这儿的log和ln都是表示自然对数，即以欧拉常数e为基底的对数函数。图中可见，函数在位于x等于0.4左右的地方，有一个极大值。
从微积分学的角度看，极大值所在的点，是函数的导数为零的点，函数在这个点具有水平的切线。但是导数为零，不一定对应的都是函数值为极大，而是有三种不同的情况：极大、极小、驻点。用该点二阶导数的符号，可以区别这三种情形，见图3。
图3：函数的极值处导数为零
所以，令公式（1）对x的导数为零，便能得到函数的极值点：x=1/e = 0.36。这个点概率函数P(x)的值也等于1/e，大约为0.36。
将上面的数值用于傻博士的相亲问题。当n=100的时候，得到r=36。也就是说，在傻博士的面试过程中，他首先应该忽略前面的35位佳丽。然后，从第36位面试者开始，便要开始认真比较啦，只要看见第一个优于前面所有人的面试者，便选定她！利用这样的策略，傻博士选到#1的可能性是百分之三十六，大于三分之一。这个几率比起前面所举的几种情况的概率：1/100、6/100，等等，要大多了。
相亲问题的策略还可以因不同情况有不同的修改。比如说，也许傻博士会换另一种思路考虑这个问题。他想，为什么一定只考虑#1的概率呢？实际上，#2也不一定比#1差多少啊。于是，他便将他原来的方法进行了一点点修改。
他一开始的策略和原来一样，首先忽略掉r-1个应试者。然后从第r个应试者开始考察、比较、挑选，等候出现比之前应试者都好的临时第一名。不过，在第r个人之后，如果这个临时第一名久久不露面的话，傻博士便设置了另外一个数字s，从第s个应试者开始，既考虑#1，也考虑#2。
我们仍然可以使用与选择第一佳丽的策略时所用的类似的分析方法，首先推导出用此策略选出#1或#2的离散形式的概率P(r,s)【2】。这时候的概率是两个变量r和s的函数。然后，也利用之前的方法，将这个概率函数写成一个两个变量的连续函数。为此，我们假设从离散变量r、s到连续变量x、y的变换公式为：
（2）
然后，考虑n趋近于无穷大的情形，可以得到相应的连续概率函数为：
公式（3）是一个两个变量的函数，其函数随x和y的变化可用一个3维空间中的2维曲面表示，如图4所示。这个函数的极值可以令P(x,y)对x和y的偏导数为0，见公式（4）。解出上面的方程便能得到这种新策略下相亲问题的解：当x= 0.347，y= 0.667时，概率函数P(x,y)有极大值，等于0.574。
图4：2维概率分布函数
将上面的数值应用到傻博士相亲的具体情况，即n=100时，可以得到r=35，s=67。以上的r和s是四舍五入的结果，因为它们必须是整数。因此，傻博士如果采取这种“选择#1或#2”的策略的话，他成功的几率大约是百分之五十七，比“选择#1”的成功的几率（36/100）又高出了许多。这个结果充分体现了数学的威力。
参考文献：
【1】Freeman,P.R. (1983). "The secretary problem and its extensions: Areview".[J], InternationalStatistical Review / Revue Internationale de Statistique. 51 (2): 189–206.
【2】S. M.Gusein-Zade, “The problem of choice and the optimal stopping rule for asequence of random trials”, [J], Teor. Veroyatnost. i Primenen., 11:3 (1966),534–537
本文同步发表在“知识分子”上：《趣谈概率和统计》之9。
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