关于欧几里得的公理系统
根据网络资料和《几何原本》（我书架上的装饰品之一）编写。
欧几里得（希腊文：Ευκλειδης ，大约公元前330年—公元前275年），古希腊数学家。他活跃于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）时期的亚历山大里亚。他最著名的著作《几何原本》不但是欧洲数学的基础，而且对于现代数学的发展有决定性的影响。
《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。全书共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个以上的定义和467个命题（定理）。在每一卷内容当中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地按照逻辑推理证明各个定理。公理、公设和定义是显而易见的，意义明确的，不证自明的，无需证明的，也不能证明的。公理、公设和定义的全体，构成一个构成一个公理系统，个别的公理、公设和定义的意义，必须在整个公理系统中来了解。
网上的资料不完全准确，下面的叙述参考燕晓东编译的“几何原本”，人民日报出版社2005年第一版。
在几何原本第一卷的开头，欧几里德引入了23个定义，5条公设和5条公理。在其后各卷中又引入了更多的定义。
第一卷的定义：
定义1.1 点：点不可以再分割成部分。
定义1.2 线：线是无宽度的长度。
......
五条公设是：
通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
五条公理是：
5、整体大于部分。
从这里出发，欧几里德在第一卷里证明了48个命题：
命题I.1 已知一个线段，可以作一个等边三角形。
命题I.2 从一个给定的点，可以引一条线段等于已知的线段。
......
命题I.47就是著名的毕达哥拉斯定理，命题I.48是毕达哥拉斯定理的逆定理。
欧几里德的体系还是有缺陷的。这些缺陷直到1899年德国数学家希尔伯特的在其《几何基础》出版时得到了完善。在这部名著中，希尔伯特成功地建立了欧几里德几何的完整、严谨的公理体系，即所谓的希尔伯特公理体系。这一体系的建立使欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系。也标志着欧氏几何完善工作的终结。
在柏拉图学派晚期导师普罗克洛斯（约410～485）的《几何学发展概要》中，就记载着这样一则故事，说的是数学在欧几里得的推动下，逐渐成为人们生活中的一个时髦话题(这与当今社会截然相反)，以至于当时亚里山大国王托勒密一世也想赶这一时髦，学点儿几何学。虽然这位国王见多识广，但欧氏几何却令他学的很吃力。于是，他问欧几里得“学习几何学有没有什么捷径可走？”，欧几里得笑到：“抱歉，陛下!学习数学和学习一切科学一样，是没有什么捷径可走的。学习数学，人人都得独立思考，就像种庄稼一样，不耕耘是不会有收获的。在这一方面，国王和普通老百姓是一样的。” 从此,“在几何学里,没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学习箴言。
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