地震地热说原理：知识库9

球泡动力学(1)

本文节译自《CAVITATION AND BUBBLE DYNAMICS》by Christopher Earls Brennen  © Oxford University Press 1995。此书从网上免费下载。作者只节译自己所需章节，用作公益性科学研究的基础资料，非商业用途。作者不懂节译是否涉及版权问题。如有不当，请专家们指正。谢谢本书的原作者，也谢谢张宇宁先生的推荐。    Seisman  2011.8.6 记

2  球泡动力学

2.1 前言

  在讨论了泡沫的初步形成之后，现在我们继续探讨随之而来的泡沫生长与溃灭的动力学问题。首先我们来考察在一个无限液体内远离其它泡而且远处具有均匀温度的单个空泡的行为。这种球面对称的情况提供了一种简单的情况来分析和揭示一些重要的现象。固体边界附近的类似问题将在随后的章节中讨论。

2.2  RAYLEIGH—PLESSET方程

  设有一半径为 R(t) 的空泡（t 为时间）位于无限液体内，离它无穷远处温度和压力分别为 T_∞ 和 p_∞(t)。温度 T_∞ 是假设一个简单恒定的情形，将温度梯度先验性排除，只考虑均匀加热而不采用内置热源或者光照加热。另外，是假设一个已知的（或者是可控的）输入以调节空泡的生长或溃灭。

虽然液体的可压缩性在空泡溃灭时是很重要的，但现在我们假设液体的密度ρ_L 是一个常数。此外，动态粘度•L 假定是常数而且是均匀的。还要假定空泡的内含是均匀的，泡内的温度 T_B(t) 和压力 P_B(t) 始终是均一的。这些假设在分析鉴别结果的情况下是不变的。

图2.1 无限液体中的球泡原理示意图

空泡的半径 R(t) 是一个主要的分析结果。如图2.1所示，液体中空泡的径向位置用从空泡中心起的距离 r 表示，液体中的压力为 p(r,t)，向外的径向速度为 u (r,t)，温度为 T(r,t)。质量守恒要求

U(r,t) = F(t) / r²                 (2.1)

式中 F(t) 为空泡表面根据运动学边界条件而与 R(t) 有关的量。在穿过界面质量为 0 的理想情况下，显然 u (r,t) = dR/dt，因此

                (2.2)

但是，这往往是一个很好的近似，即使蒸发或冷凝是在界面上发生。为了证明这一点，考虑一个蒸汽泡。产生蒸汽的容积率必须等于空泡大小增加的速度 4πR²dR/dt，因此，蒸发的质量率必须等于 ρV(TB)4πR²dR/dt。这里的 ρV(T_B) 为温度 T_B 下饱和蒸气的密度。反过来说，这必须等于向界面内流动的液体质量，因此相对界面的液体向内的速度为 ρV(T_B)(dR /dT)/ρ_L。故有

                (2.3)

和

                (2.4)

在许多实际情况下 ρV(T_B)<<ρ_L，因此公式2.2的近似形式可能就足够了。为了清楚起见，我们将继续用到公式2.2的近似形式。

假设一个牛顿液体，在 r 方向运动的Navier - Stokes方程为

                (2.5)

用 u = F(t)/r²替代 u，则有

                (2.6)

需要注意的是，这里粘性项消失了。事实上，粘性贡献只在 Rayleigh – Plesset 方程2.10的空泡表面动态边界条件下起作用。因此，当在r→∞而P→P_∞的条件下，式2.6可整合为

                (2.7)

   要完成这部分的分析，必须构造气泡表面上的动态边界条件。为此，设有一体积可控的小气泡，气泡表面无限地薄，如图2.2所示。在此薄层径向向外方向的单位面积的净力为

                (2.8)

或者，因为 σ_rr= -p+2•L∂u/∂r，则单位面积的力为

                (2.9)

  在没有通过边界的质量交换（蒸发或冷凝）的情况下，这股力必为零，从（文献{BE7}）方程用 F = R²dR/dt 替代（P）_{r = R} 的值即得到广义的 Rayleigh-Plesset 空泡动力学方程：

                (2.10)

   给定p_∞（t），这代表由P_B（t）求解R（t）的方程是已知的。在没有表面张力和黏性项的情况下，第一个得到和运用方程的人是瑞利（Rayleigh 1917）。Plesset（1949）第一个采用方程来解决空化气泡的问题。

图2.2  球泡表面的一部分

2.3 空泡的内容

   除了 Rayleigh – Plesset 方程之外，考虑到空泡的内容是必要的。假设空泡内含有相当数量的杂质气体，这是很普遍的，在某种设定大小为 R₀ 时其分压为 P_Go，温度为 T_∞，则如果没有明显的传质，气体或液体进出，它遵循

                (2.11)

     在某些情况下这最后的一个假设是没有道理的，而且有必要使用下一节中用于热扩散问题的类似方式来解决液体中的质量交换问题（参见第2.6节）。

   仍然限定 T_B（t）。这并非总是必要的，因为在某些条件下的未知T_B和已知的T_∞之间的差异是可以忽略不计的。但也有些情况下温差（T_B（t）- T_∞）是重要的，是这种差异控制的空泡动力学所造成的效应。显然，温差（T_B（t）- T_∞）导致不同的蒸气压 P_V（T_B）会比没有这种热效应的情况下要大，从而改变空泡的生长率或溃灭率。因此，将公式2.11代入到2.10，从而写成 Rayleigh – Plesset 方程的一般形式：

                (2.12)

   第一项（1），是远离空泡的条件确定的瞬间张力或驱动项。第二项（2），被称为热力项，将会看到非常不同的空泡动力学取决于这一项的大小。当温差很小时，可以很方便地利用泰勒展开，仅保留其中的一阶导数，得

                (2.13)

式中 A 值可按 Clausius-Clapeyron 关系取为

               (2.14)

这与泰勒展开近似在已知温度 T_∞ 下评估的 ρ_V 和 L 是一致的。因此，对于微小的温度差异，公式2.12中的（2）是由 A（T_B - T_∞） 给定的。

空泡温度 T_B 偏离远处液体温度 T_∞ 的大小，可以大大影响到空泡动力学，因此有必要讨论如何评估这种偏离。（T_B - T_∞）的测定方法需要两个步骤。首先，它要求求解热扩散方程

               (2.15)

以确定液体内的温度分布 T（r，t）。式中 αL 是液体的热扩散率。其次，它需要该空泡的能量平衡。液体提供给边界面的热量为

              (2.16)

式中 k_L 是液体的导热系数。假设，所有这一切都是用于液体的汽化（这忽视的热量用于加热或冷却现有的空泡内容，这是在许多情况下可以忽略不计的），我们可以评估蒸汽产生的质量速度和与之相关的空泡体积增加的速率。于是生成

              (2.17)

式中的 k_L、ρ_V、L 可在 T=T_B  时求得。然而，如果 T_B-T_∞ 很小，则可以像早先说过的在 T=T_∞下估值一样作线性估计。

  现在，热效应问题的性质已经很清楚了。热的 Rayleigh – Plesset 方程2.12中的热力项需要（T_B（t）- T_∞）和 R（t）之间的关系。能量平衡方程2.17生成了（∂T /∂R）_{r = R} 和R（t）之间的关系。（∂T /∂R）_{r = R} 和（T_B（t）- T_∞）的最后关系需要求解热扩散方程。这是最后一步，但有相当大的难度，因为热扩散方程明显是非线性的，没有确切的解析解的存在。然而，Plesset和Zwick（1952）的解决方案提供了多种用途有用的近似值。这个解决方案只限于在热边界层的厚度 δ_T 与空泡半径相比是很小的情况，大致可用下式判定

              (2.18)

Plesset-Zwick 结果是

              (2.19)

式中 x 和  y是虚拟的时间变量。利用方程2.17，此式可写为

              (2.20)

  这可以直接代入 Rayleigh – Plesset 方程来生成一个复杂的关于 R（t） 的积分微分方程。然而，对于现在的目的我们最好只关注空泡生长或溃灭的状况，可以通过近似的关系

R = R* tⁿ               (2.21)

式中 R* 和 n 是常数。则式2.20变为

              (2.22)

式中常数为

              (2.23)

而且对于多数我们所关心的 n 值（空泡生长时 0<n<1）是一个定值。利用这些条件，Rayleigh-Plesset 方程2.12中线性化了的热力项（2）变成

              (2.24)

式中热动力学参数为

              (2.25)

  此参数 Σ，其单位是 m/sec^3/2，在确定空泡的动力学行为时是至关重要的。

（陈立军、陈晓逢译，陈立军校）