本札记的核心主题是概率，研究的目标是随机事件的统计规律。用一句话概括，即随机事件是单体的不可预测性；而统计规律是群体的频率稳定性。

众所周知，当前不论是数学还是工程数学的书籍都如汗牛充栋、触目皆是。本札记必须突出自身的特色和争取应有的读者群，写作思想非常明确：

（1）作者与读者平起平坐，讨论各种概念和问题；

（2）把数学从“神坛”上请下来，向“他”请教各色各样的实际问题，以求得切实的进展和解决；

（3）探索一条把数学与工程，理论与实践，抽象与具体结合的道路；

（4）不怕水平低，不怕问题浅，如实揭示出这个领域的难点和要点。

赌博问题刺激了概率论的兴起

很多文献都羞谈概率论研究起源，这是因为历史事实是赌博问题刺激了它的兴起。

16世纪意大利学者卡尔丹（Cardan Jerome）首先发现：赌博的每次输赢存在极大的偶然性，但是，在很多次赌博中输与赢就存在一定的规律。他与塔塔利亚（Tartaglia  Niccolo）从数学的观点研究了掷2个和3个骰子时总点数为9或10的可能性大小。通过计算，他们对赌博者进行了宏观的预测。卡尔丹由此写的一本《论赌博》的小册子是概率论研究的最初雏形。

严格地说，卡尔丹等人的研究只是研究了等可能性所占据总数之比例，而真正作为研究的奠基者当推17世纪法国数学家帕斯卡和费马。

1654年的一天，梅雷向数学家帕斯卡提出一个以后被称为“赌金分配”的著名问题。原问题是：赌博者梅雷和保罗两人相约掷骰子，各押赌金36个金币。事先约定，梅雷若先掷出3次“6点”，或保罗先掷出3次“4点”就算赢了对方。赌博进行了一段时间后，梅雷已掷出2次“6点”，而保罗则掷出1次“4点”。由于意外之事中断了这场赌博，以后也不再想继续。请问应该怎样分配他们的赌金。

对于这个问题存在两种观点：一种是以早期帕西奥里（Pacioli Luca）为代表的当前结算思想，即以双方中断至胜局以比2:1作为赌注分配原则。具体地是梅雷48枚金币，而保罗24枚金币；第二种是全局预测思想，此即帕斯卡和费马提出的。据说，他们为了思考这个问题整整花了三年时间，他们主张一定要按事前约定的3局取胜原则，然后再用数学期望作出分配。

帕斯卡和费马假设他们的赌博再进行下去，则对于决定性的局次（即梅雷掷出6点或保罗掷出4点）最多是两局，且有表1所示的四种可能。

很清楚看出：前面三种期望，均为梅雷赢，只有最后一种可能是保罗赢，因此合理分配赌金应该是3:1 。具体地是梅雷得54枚金币，而保罗为18枚金币。

帕斯卡在他著作《论算数三角形》中给出了这一问题的通解。设甲得了a分，乙得了b分，先积满s分者赢全部赌注。且a＜s，b＜s时赌局中止。赌结束这场赌博最多还需（s－a）+（s－b）－1次。

甲乙两人合理分配赌注之比为

其中设m＝s－a，n＝s－b。

数学史认为，帕斯卡和费尔马预测了赌徒胜的可能性——也即事实上定义了概率。因此，概率的发展被认为是他们发端的。

值得提出：帕斯卡和费尔马均没有提出数学期望的概念。而正是荷兰数学家惠更斯在《论赌博中的推理》中才第一次明确提出：“在赌局开始之前，对每一个赌徒来说就已有一种关于结果的‘期望’。如果我们共有N种等可能的结果，其中有n种结果使他获得赌金为a，其余结果使他获得赌金为b，则他的期望为

至于雅谷﹒帕努利提出了大数定理，更使概率论建立在了客观的基础上。

概率论的对象

Norbert wiener 在他著名的奠基作品《控制论》卷首曾引了这样一首德国儿歌，这首短歌的大意是：“你知道有多少星星高悬在蓝色的天空？你知道有多少云朵漂浮在大地的上空？上帝对它们作过清点，数字虽然巨大，可是一无遗漏。”

值得注意的是，上述儿歌竟概括了两个十分重要的科学领域，即天文学和气象学。从对天文和气象研究中，人们似乎已归纳出自然界中存在两种现象：决定现象（即在一定的条件下必然发生，或者在一定的条件下必然不发生）和随机现象。

概率论正是以随机现象作为主要研究对象。

随机现象的规律是统计规律，简单说来可概括为单体的不可预测性和群体的频率稳定性。因此，单体和群体构成概率论对象中的一对主要矛盾。

作为单体，它应了中国的一句古话：“天有不测风云，人有旦夕祸福。”然而作为群体它又有明显且稳定的统计规律性。概率论正是以科学的方法研究随机现象的统计规律性。
就这方面而言，因为概率的思想和概念完全不同于我们平常的接触的确定性问题，所以常常容易出现错误。台湾前中央研究院院长著名科学家吴大猷先生曾幽默地举述两个错用概率的例子：

【例】  一个病人去医师处看病，经检查后医师告诉病人说，他需要动手术。病人问这项手术的死亡率怎样？医生说这项手术100个病人有50个要死的，但他立刻安慰病人说，已有50个病人死去了，所以病者不必害怕。

【例】  一个乘飞机的旅客问航空公司，飞机有人埋放定时炸弹的概率有多大？航空公司回答说是百万分之一的可能。这个旅客又问同时有两人埋放定时炸弹的概率有多大？回答是按概率理论应该是百万分之一的平方，即一万亿分之一。于是这位旅客自己带了一颗定时炸弹上飞机，自以为这样可以减低飞机有定时炸弹的概率。

作为著名的科学家，吴大猷先生在这里讲的绝不仅仅是笑话。而是要初学者加深随机现象中单体结果的不可确定性这一认识，也要大家提防用（人为的）非随机现象取代随机现象。这将会得出很多严重的结果。最近报道国内某地很多非法的B超性别检查，使出生的男婴还是女婴的一倍以上。

概率论的分析方法

所谓概率论的分析方法，首先是把随机现象分解为若干个，或一系列最基本的元素。只有这样才能便于数学管理。

随机试验E

我们把人对于随机现象结果的实验或者反应称为随机试验。随机试验有下列几个特征：

☀ 每次试验可以在相同的条件下重复进行；

☀ 实现有明确的可区分结果，而每次试验的可能结果不止一个；

☀ 在进行试验之前，出现的结果是不确定的。

上述随机试验E包含最基本的（称作基本随机事件），和组合的（通常称为随机事件）。为了把单体结果的不可预测性分解为最基本的元素，我们的主要兴趣集中于基本事件。

值得提出：随机现象的结果有时是有客观标准的，如天雨天晴、生儿育女等；但有时却包含人为主观因素，如产品合格不合格，血脂高不高等。

样本空间S

随机试验E中所有基本事件所组成的集合称为样本空间S。基本事件是样本空间的元素或样本点。

于是，一般说来任何随机事件均可以看作是样本空间元素的某种组合。以后叙述将看到，对于古典概型，基本事件是等可能性的（即具有高度的对称性）。于是在这一基础上，构成了群体的频率稳定性。下图表述了概率论的分析方法。

必须指出：样本点构成事件的最主要元素。但是，从样本转入事件时，我们还引入了虚样本，即空集Φ。Φ样本不属于样本空间，而属于事件。Φ事件时作为S事件的对立而出现的。只有引入Φ，才能保证事件的逻辑关系是完备的。

概率论分析方法

在数学史上，零的出现是一件大事。在概率论中引入“虚”样本也应该是非常值得注意的方法。

【例】  两个骰子的所掷点数，画出其样本空间图。找出点数和的事件并分析其最大可能性。

这是典型的有限样本空间。总共有6×6＝36个元素。A＋B两个骰子点数和出现最多的是7点，共有6个样本点；出现最少的是2点和12点，各只有1个样本点。

【评注】 两个骰子的点数和已经出现了中间大，两头小。即点数和小与点数和大的样本点少，而点数和中间的样本点多。这种特点对于多个骰子更为明显。

可以这样说，由多个试验组合的事件，中间大，两头小将是随机现象的普遍特点。

通过对随机现象的分析和分解，我们已经把对它的研究转化为采用样本空间来研究随机事件。

随机事件有逻辑关系和数量关系。逻辑关系采用集合论方法，而（等可能性事件）的数量关系采用排列组合方法。

本文摘编自梁昌洪所著《概率论札记》一书。该书是作者工程数学系列札记中的第四本。前三本分别是《矢算场论札记》（科学出版社，2007）、《复变函数札记》（科学出版社，2011）、《矩阵论札记》（科学出版社，2014）。尽管四本书所涉猎的领域完全不同，但却有着完全一致的目标，“推出一套把数学和应用紧密结合的工程数学书籍，使读者能在数学和工程之间这座桥梁自如跨越且掌握得心应手。”本书的核心主题是概率，包括：概率论基础、随机量分布和数字特征、大数定律、抽样分布到统计回归。书中讨论了概率论的应用实例，丰富的附录可以给广大工程技术人员带来很大的方便。

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