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数学 , 始终伴随着人类文明的发祥与发展 . 从远古到公元前 6 世纪 , 由于计数和土地丈量的需要 , 人类开始认识自然数和简单的几何图形 . 建于约公元前 2600 年的埃及法老胡夫金字塔 , 不仅是建筑史上的奇迹 , 其数学方面的成就也很让人称奇 . 例如 , 它的正方形塔基每边长约 230m, 其正方程度与水平程度的平均误差不超过万分之一 . 这个阶段只是数学的萌芽时期 . 公元前 6 世纪 Pythagoras ( 毕达哥拉斯 ) 学派与“万物皆数论”的出现 ,标志着初等数学时期 , 或称常量数学时期的到来 . 其间出现了 Euclid ( 欧几里得 ) 的《几何原本》、 Archimedes ( 阿基米德 ) 求面积与体积的方法、 Apollonius ( 阿波罗尼奥斯 ) 的《圆锥曲线论》、 Ptolemaeus ( 托勒密 ) 的三角学以及 Diophantus ( 丢番图 ) 的不定方程等 ,逐渐形成了初等数学的主要分支和现在中学数学的主要内容 . 17～18 世纪 , Newton ( 牛顿 )与 Leibniz ( 莱布尼茨 ) 等的微积分 ( 数学分析的主要内容 ) 的发明与发展 , 标志着数学发展进入了近代变量数学时期 . 而 19 世纪以来 , 则可称为现代数学时期 .
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1. 数学代表了人类文明的理性精神
任何一种值得一提的文明 —— 精神财富的集中体现 , 都是要探究真理的 , 而其中最基本也是最伟大的真理是有关宇宙与人类自身的真理 . 地球、太阳系的谜团 , 如太阳的升与落、月亮的圆与缺、奇妙的日蚀与月蚀等 , 以及人类的起源、人生的目的与人类的归宿等 ,这是我们的先祖们曾经迫切想搞清楚的问题 . 在人类文化刚开始萌芽的时期 , 人类刚从蒙昧中觉醒 , 迷信和原始宗教还控制着人类的精神世界 , 直到希腊文化的出现 . 古希腊人敢于正视自然、摈弃传统观念 . 他们之所以能如此 , 是因为他们发现了人类最伟大的发现之一 —— 推理 , 知道了人类是有智慧、有思维、能发现真理的 , 而不是只能听从“神”的旨意的 . 而他们的思维与推理的成功 , 数学可谓功不可没 . 可以说在这个时期 , 数学帮助人类从宗教和迷信的束缚下解放出来 , 同时也发展了数学自身 . 这个时期数学成就的顶峰就是 Pythagoras 学派的“万物皆数论”与 Euclid 的《几何原本》 .
进入中世纪后，在人类探索宇宙奥秘的过程中形成了“地心说”和“日心说”这两种对立的观点 . 为了捍卫“日心说” , Kopernik ( 哥白尼 ) 、 Kepler ( 开普勒 ) 、 Galileo( 伽利略 )等人前赴后继 , 逐步形成了 Kepler 三大定律和 Galileo 惯性定律、自由落体运动等物理定律以及重事实、重逻辑的近代科学 . Kepler 指出了行星的运动规律 , 可是为什么行星会绕太阳转呢 ? 支持其运动的动力来自何方 ? 天上的运动与地上的 Galileo 所描述的运动是内在统一的吗 ? 当时的人们无法回答这些问题 , 只能期待时代伟人的出现 . “自然界和自然规律隐藏在黑暗中 . 上帝说 , 让 Newton 出生吧！于是一切都是光明 . ” ( 英国文豪 Pope( 蒲伯 )). 其实 , 在 Newton 发明微积分之前 , 还有 Descartes ( 笛卡儿 ) 发明的坐标系与解析几何、业余数学家之王 Fermat ( 费马 ) 的一系列工作以及 Newton 的“死敌” Hooke ( 胡克 )等一大批伟人的贡献 . Newton 自己在和 Hooke 的名利之争中也不得不承认 , “如果说我能看得更远一些 , 那是因为我站在巨人的肩膀上” ( 姑且不论他这里所指的巨人是谁 ). 而发现哈雷彗星的回归与太阳系的第八颗行星海王星 , 更是数学 , 特别是微积分作为人类文明理性精神的代表的最经典的诠释 . [ 参见《数学与文化》 ( 齐民友 , 2008)]
Engels ( 恩格斯 ) 在其《自然辩证法》中就曾经说过：“在一切理论成果中 , 未必再有什么像 17 世纪后半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了 . ”这也足以看出微积分在人类理性文明中的至高无上的历史地位 .
2. 一种科学只有在成功地运用数学时 , 才算达到真正完善的地步
按照法国的国际工人运动活动家、工人党创始人之一的 Lafargue ( 拉法格 ) 在《忆马克思》一书中的记载 , Marx ( 马克思 ) 在距今一百多年以前就论断 , 一种科学只有在成功地运用数学时 , 才算达到真正完善的地步 . 现在 , 人们已经普遍接受这样的观点：“哲学从一门学科中退出 , 意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科 , 就意味着这门学科的成熟 . ”
不仅如此 , 更进一步 , 从 20 世纪 80 年代开始 , 人们已经认识到 , 高技术本质上是一种数学技术 . 这一观点是美国前总统尼克松的科学顾问 David 于 1984 年 1 月 25 日在美国数学会 (American Mathematical Society, AMS) 和美国数学协会 (Mathematical Associationof America, MAA) 联合年会上正式提出的 . 其实著名数学家华罗庚在更早的一次学术会议上也提出过这样的观点 . 从两弹一星到核武器试验 , 再到太空技术 , 都离不开数学的现代化 . 陈省身与杨振宁的数理合作更是现代科学相互渗透、相互依赖的典范 .
现代物理学家 Hawking ( 霍金 ) 说过“有人告诉我说我载入书中的每个等式都会让销量减半 . 然而 , 我还是把一个等式写进书中 —— 爱因斯坦最有名的那个 : E = mc 2 . 但愿这不会吓跑我一半的潜在读者 . ”这表明现代自然科学已经离不开数学 . 而在社会科学方面 ,以往是没有数学的地位的 , 现在情况发生了根本变化 . 经济、金融甚至政治 , 都极大地数学化 . 据统计 , 近 10 年来 , 诺贝尔经济学奖获得者有一半以上有数学学位或履历.
3. 数学分析课程的重要性
数学分析 (mathematical analysis), 又称高等微积分 (advanced calculus), 是变量数学的核心 , 同时它也是现代数学的三大分支 —— 分析、代数和几何中的分析学的基础 . 数学分析的研究对象是一般的函数 , 研究手段主要是极限 . 最成功之处在于解决初等数学中无法解决的诸如一般曲线的切线问题和不规则图形 ( 如曲边梯形 ) 的面积问题等 , 因此在天文、力学、几何以及经济、金融等方面有着广泛的应用 .
从学科分类来看 , 数学、统计学等都是一级学科 , 在数学一级学科下分为五个二级学科 : 基础数学 , 计算数学 , 概率论与数理统计 , 应用数学 , 运筹与控制论 . 目前 , 数学学科的研究生专业即按此分类 . 而本科数学与统计学科则包含三个专业 , 分别是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业以及统计学专业 .
数学分析是这三个专业的大类学科课程与核心课程 , 它对应于非数学专业的高等数学课程 ( 广义的高等数学则是指除初等数学以外的所有现代数学 ), 被公认为是这三个专业最重要的基础课程 , 位于传统的“三高” ( 高等微积分、高等代数、高等几何 ( 解析几何 ))之首 , 学分数占大学本科四年总学分的十分之一 . 它不仅是数学与统计学专业学生进校后首先面临的一门重要课程 , 而且整个大学本科阶段的几乎所有的分析类课程在本质上都可以看作是它的延伸和应用 . 可以这样说 , 其重要性无论怎么强调都不过分 .
4. 如何学好数学分析
数学分析这门课程内容丰富、逻辑严密、思想方法灵活 , 且应用领域又十分广泛 , 所以要想学好它 , 必须深刻理解其基本概念的思想内涵 , 养成善于思考、认真钻研、灵活应用等学习习惯 . 首先 , 必须认真钻研教材 , 并用心研读相当数量的参考书 , 其目的是弄清楚主要概念和定理的背景、含义、本质及作用 , 避免死记硬背 . 常见的参考书有《数学分析》 ( 华东师范大学数学系 , 2001) 、《数学分析》 ( 陈纪修等 , 2004) 、《数学分析教程》 ( 李忠和方丽萍 , 2008), 起点更高的有《数学分析》 ( 卓里奇 , 2006) 、 Principles of Mathematical Analysis (Rudin, 1976) 等 . 其次 , 为了加深理解 , 几何直观是很好的帮手 . 但是不能以直观替代严密推导 . 思考问题时应避免想当然 , 避免以特殊代替一般 . 每一步推理或判断都要合乎逻辑、有根有据 . 再次 , 要有相当强度的基础训练 . 训练的目的不仅在于模仿和记忆 , 更在于加深理解 , 掌握方法 . 当然光理解还不够 , 要在理解的基础上做到熟练 . 学习指导书或习题课教程也是值得大家认真读的 , 例如 , 《数学分析学习指导书》 ( 吴良森等 ,2004) 、《数学分析习题课讲义》 ( 谢惠民等 , 2003).
数学分析是数学学院学生最先学习的课程 , 对尽快适应大学阶段的学习显得很重要 .只要大家按照上面的建议 , 并根据自己的实际情况 , 多思考、多讨论、多总结 , 举一反三 ,就一定能练就扎实的分析功底 , 并为后继课程的学习打下坚实基础.
5. 关于本书
本书是根据我 20 多年连续讲授“数学分析”课程的实践 , 结合泛函分析的教学与科研工作的体会写成的 , 并且已经连续使用近 10 年 . 本书取名为“讲义” , 其特点就是一切为读者所想 , 特别适合初学者 . 本书既注重数学思想和严格的逻辑推导 , 又突出实际背景与几何直观 ; 写作语言既严谨又朴实 , 并适当穿插数学文化 , 提高学生学习兴趣 ; 尽量体现先易后难的原则 , 例如，实数连续性理论的安排、可积性的讨论等都分步走 , 便于学生接受 ; 习题的安排分类分层次，即分为 A 、 B 、 C 三类 , 其中 , A 类是基本题 , B 类是提高题 , C 类是讨论题 . 本书对讨论题给予更多关注 , 目的在于帮助学生厘清概念 , 这往往是学生的软肋 , 同时也能增强研学与创新能力 .
按照现在通行的讲授三个学期的现状 , 教材分为三册 . 但本书的结构体系进行了较大的调整：第一册的内容包括极限、连续、导数及其逆运算 ( 不定积分 ), 第二册的内容包括实数理论续 ( 含上极限与下极限、欧氏空间 ) 、定积分及多元微积分 , 第三册的内容包括级数与反常积分 ( 含参变量积分 ) 等 .
为了尽快接触到微积分的主要内容 , 体会到微积分的巨大成功 , 同时又照顾到读者学习的便利 , 第一册选择尽可能少的实数理论做基础即展开极限与连续以及微分学的讨论 ,而把比较复杂的证明 ( 包括实数等价命题和上、下极限的讨论 ) 放到第二册开头 , 并把欧氏空间理论也放到开头这一章 , 作为实数连续性的自然推广 . 这样的结构对于为学生打好坚实的数学基础也很有帮助 , 也为接下去进行严格的可积性推导奠定基础 . 注意到反常积分 , 包括反常重积分 , 和级数有较多的相似性 , 例如都是有限情况取极限以及目标相同：重点研究收敛性 , 判别法也类似等 , 因此将这两者组合在同一册里也是恰当的 , 也将给读者的学习带来极大便利.
张福保 2019 年1月 于东南大学九龙湖校区
内容简介 本书是作者在东南大学连续20多年讲授“数学分析”课程的基础上写成的，并已连续试用近10年。本书取名为“讲义”，最大特点就是一切从读者的角度去讲解，既注重数学思想的阐述和严格的逻辑推导，又突出实际背景与几何直观的描述，并适当穿插了一些数学文化的介绍。在编排上尽量体现先易后难和分步走的原则。习题分类安排，即分为A、B、C三类。其中，A类是基本题，B类是提高题，C类是讨论题。本书对讨论题给予更多关注，目的在于帮助学生厘清概念，增强研学与创新能力。
本书分为三册，第一册包括极限、连续、导数及其逆运算(不定积分)，第二册包括实数理论续(含上极限、下极限、欧氏空间)、定积分及多元微积分，第三册包括级数与反常积分(含参变量积分)等。
（本期编辑：王芳）
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