代数研究加、减、乘、除等运算及其推广的性质，运算性质的表现形式多种多样，代数结构是其中一种。典型的代数对象包括：多项式、代数式、代数方程、线性空间、线性变换、矩阵、群、环、域、模等。 数理逻辑和组合数学也是有代数风格的数学分支。

在初中阶段刚学代数时，首先接触到的就是单项式、 多项式、代数式(包括分式) 及其运算和多项式方程。多项式、分式、解方程最能体现加减乘除的运算性质：如交换性、 结合律、分配律等。

多项式方程的求解是数学发展的一个永不枯竭的推动力，方程求解既有实际的需要, 也有理论吸引的魅力，吸引着一代又一代的数学家为之前仆后继。 一元一次方程是简单的，现在小学生都会解；一元二次方程也不难，四千多年前巴比伦人就会解了，这是现在初中生要学会的数学内容。 

但对于高阶方程发展十分缓慢，直到十五六世纪时，人们才得到一元三次和四次方程的求解公式，这个求解过程相当复杂，而且实用价值不大。解决了一元三次四次方程求解之后，接下来人们想得到更高次方程的根式解，为此数学家们忙了很长时间，花了很大的力气， 其中不发知名而伟大的数学家，如拉格朗日(Lagrange)， 但都失败了. 

结果出人意料是1824 年挪威数学家阿贝尔(Abel) 证明了五次和更高次的一元多项式方程一般没有根式解。这个结论也叫阿贝尔-Ruffini 定理，因为Ruffini在1799 年几乎证明了这个定理, 不过他的论证有漏洞。

几年后，法国数学家伽罗瓦(Galois) 找到证明这个定理更好的办法，实际上他的方法导出了更彻底的结果：给出了一元多项式方程何时有根式解的准则。 伽罗瓦发现一个方程的根的排列关系是非常重要的。 在这里他引出了群的概念，求解一元多项式方程的探索过程产生的最有影响的数学就是群论。 伽罗瓦证明对每一个一元多项式，有相应的群， 称为这个多项式的伽罗瓦群。一个一元多项式方程有根式解当且仅当相应的伽罗瓦群可解。伽罗瓦发现对一般的n次一元多项式，相应的群就是对称群Sn。 而当n大于等于5 的时候， 这个对称群是不可解的。正是这个不可解性导致了方程的根式不可解。其结论可以表述如下.

定理（1）一元多项式方程有解当且仅当这个多项式的伽罗瓦群可解。 一般的n次一元多项式的伽罗瓦群是对称群Sn (Galois)。

（2）如果n > 5， 对称群Sn 不可解(Galois)。

（3） 五次或更高次的一元多项式方程一般没有根式解(阿贝尔-Ruffini )。

伽罗瓦的工作影响是非常深远的， 群论由此诞生。 今天群论已发展成庞大深刻的理论， 是研究对称的基本工具，在数学、物理、化学中有广泛的应用， 甚至在矿物学和音乐中也有应用。 在拓扑和(代数) 几何中重要的的群包括同调群、基本群、同伦群、Picard 群；在数论和算术几何中重要的群包括类群、椭圆曲线、阿贝尔簇。在物理中出现的群有庞加莱群、洛伦兹群、李群等。 群在规范场论和标准模型中都起重要的作用。 把拓扑群与分析结合在一起形成了群上调和分析。1872 年， 在著名的Erlangen 纲领中, F. Klein 提出用群的观点统一看待几何：

几何研究的是变换群下不变的性质，不同的群给出不同的几何。这一观点对后来几何学的发展影响非常大。 上个世纪六十年代， R. Langlands 提出用代数群(或说李群) 的表示研究数论， 现在已经发展成Langlands 纲领。该纲领主要研究简约群(一般线性群、正交群、辛群等都是简约群) 的自守表示及其L 函数，中心问题是函子性猜想，Langlands 对应猜想。 L. Lafforgue 证明了函数域上一般线性群的Langlands对应，于2002 年获菲尔兹奖；吴宝珠证明了该纲领中的基本引理，2010 年获菲尔兹奖。Langlands 纲领是目前特别受关注的研究方向， 其中的函子性猜想看上去离解决还遥远得很。

上世纪一项伟大的数学成就是对有限单群的类。J. G. Thompson因其在单群分类中的杰出工作于1974 年获菲尔兹奖。他最出名的工作是与W. Feit 合作证明了伯恩赛德猜想：非交换的有限单群的阶是偶数。论文发表于1963 年， 占了《太平洋数学杂志》整个一期。M. Aschbacher 因其在有限单群分类的杰出工作2012 年获沃尔夫奖。

在有限单群中有一个非常大的单群，称为魔群, 其中元素的个数大约是8x10^{53}与数学中的"月光猜想" 密切相关。1992 年R. Borcherds证明了这个猜想， 为此他引进了广义KacMoody 代数， 与他人一起引进了顶点算子代数。 现在， 这些代数都是重要的研究对象。因为这项工作，Borcherds 于1998 年获菲尔兹奖。

如果把所有整系数的一元多项式方程的根放在一起，我们得到一个域，记做1Q，称为有理数域的代数闭包。 有理数域的代数闭包的所有域自同构形成一个群， 称为有理数域的绝对伽罗瓦群。这个群及其表示的研究是现代数学尤其是数论中极其重要的研究课题。

如果一个数不是任何整系数一元多项式的根，则称这个数是超越数，圆周率和微积分中的常数e 都是超越数。超越数的研究也是数论的重要组成部分， A. Baker曾因对超越数的研究获得1970 年的菲尔兹奖。 一些自然产生的数如某些无穷级数的和与某些函数的值等是否为超越数是人们特别感兴趣的。

在群论中，李群和代数群的理论与其他数学分支的联系十分广泛和深刻。 群表示论， 尤其是李群和代数群的表示论是现在非常活跃的分支。 李群和代数群的离散子群特别有意思， 与数论和遍历论等分支的联系极为密切，G. Margulis 因其在半单李群的离散子群上的深刻工作获1978 年的菲尔兹奖。

代数能给我们带来智慧和光明。 妙哉。

（本文节选自席南华院士《基础代数》（第一卷）之简说代数）

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