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布洛赫定理

2023-6-9 11:16

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由于晶格具有平移对称性，可以引入平移算符 $T({a}_{i})$ 。由于 $[T({a}_{i}),T({a}_{j})]=0,[T({a}_{i}),H]=0$ 。它们具有共同的本征函数： ${\psi }_{k}(r)={e}^{ik.r}{u}_{k}(r),{u}_{k}(r)={u}_{k}(r+{R}_{n})$ ，其中为电子的 $k$ 波矢， ${R}_{n}$ ${R}_{n}={n}_{1}{a}_{1}+{n}_{2}{a}_{2}+{n}_{3}{a}_{3}$ 是格矢。周期势场中单电子波函数，称为布洛赫函数。具有如上所述形式，布洛赫函数是晶格周期势调幅的平面波。

布洛赫定理：

表述一： ${\psi }_{k}(r)={e}^{ik.r}{u}_{k}(r),{u}_{k}(r)={u}_{k}(r+{R}_{n})$ ，其中为电子的 $k$ 波矢， ${R}_{n}$ 是格矢。

表述二：当平移晶格矢量 ${R}_{n}$ 时，同一能量本征值的波函数只增加相位因子， ${e}^{ik\cdot {R}_{n}},{\psi }^{n}_{k}(r+{R}_{n})={e}^{ik\cdot {R}_{n}}{\psi }^{n}_{k}(r)$ 。

布洛赫波能谱特点：

1、对于一个确定的 $k$ ，有无穷多个分立的能量本征值 ${E}_{n}(k)$ 和相应的本征函数 ${\psi }^{n}_{k}(r),n=1,2,\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ,\infty$ 。

2、对于一个确定的 $n,{E}_{n}(k)$ 是的 $k$ 周期函数， ${E}_{n}(k)={E}_{n}(k+{K}_{h})$ ， ${\psi }^{n}_{k}(r)={\psi }^{n}_{k+{K}_{h}}(r)$ ，其中为倒格矢 ${K}_{h}$ 。

3、能谱成带结构。

在布洛赫函数中，平面波因子描述电子在各原胞之间的共有化运动，晶体中的电子也称为共有化电子。由于在各原胞中周期性重复，描述了电子在原胞内的运动。晶体中的电子既有共有化运动也有原胞内部运动，电子能谱表现为能带。

4、能谱的对称性。

5、等能面垂直于布里渊区界面。

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