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【科网大学（1）】难倒许多博士和教授的一道中学物理题
。。。
（增补后记）
科学网讨论学术问题，天经地义！
许多人以为，我们对世界的理解已经很清楚了，不需要讨论了。
--- 进化论？真伟大！登峰造极了！不许讨论！
--- 相对论？真牛犇！穷极宇宙了！不能讨论！
--- 量子论？真精细！都快发现鬼场和鬼粒子了！更不敢讨论！
哪、哪、哪。。。俺们就讨论讨论中学物理吧! OK?
【题目】一个小刚球，半径可以忽略不计，质量为m; 一个大刚球，半径为r, 质量为M。质量M远远大于质量m（即：m/M --> 0）。现将小球置于大球顶部（不用胶水粘住），让它们从距离地面h的高度自由落体。（注意：球体之间、以及球体与地面之间都是完全弹性碰撞，没有任何能量损耗。空气阻力也完全忽略。）
【问题（1）】大球落地的时候的速度？
--- 这个问题答不出来？打屁屁！不用看后面的问题了。。。
【问题（2）】大小球落地之后，要反弹吧？请问：小球会弹到多高？
--- 提示：假设您已经算出来了问题（1）的答案，是V(1), OK?
--- 那么，请直接说：小球反弹的初速度是多少（以V(1)为单位）？
反正，二傻根据能量守恒定律和时间反演定律，
总觉得，大小球要回到原来的地方。。。？？？
【问题（3）】如果您成功地解决了问题（2），那么二傻很想问问：
--- 在大球第N次着地时，小球在哪里？
【问题（4）】如果您成功地解决了问题（3），那么二傻很想知道：
--- 在时间趋于无穷大的区间内，小球最高能弹到多高？
【问题（5）】如果您成功地解决了问题（4），那么二傻很好奇：
--- 系统出现混沌了吗？系统的李雅普诺夫指数是多少？
道可道，非常道！嘿嘿！
。。。
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【严正警告】
曾经得到过天狼星特使答案者，
暂时不许公布答案，
否则不带你们去天狼星
玩！
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【增补后记】
本博文能被科学网精选，可喜可贺也！
希望以后在二傻讨论一些更为复杂的问题，比如量子理论基本问题的时候，也能得到类似的精选。。。哈哈！
这道题目，其实是二傻当年（1986）考CUSPEA时遇到的一道物理题，只要求回答问题（2）即可。。。据全慧兄说，60年代美国威斯康辛州大学物理系招研究生，就考过这个类似的题目，在科大的习题集《力学》卷中就有(老方作序的一个题解系列)。。。
由此可见，这个问题，看似简单，却十分容易让大家迷惑！
我们先看看所谓标准的答案是啥？
标准答案是：
【小球将以3V的速度被反弹】
达到标准答案的关键之处在于这个“假设”：
【着地之后的那个瞬间，小球冲下，而大球朝上，都是V速度】
从这个“假设”到标准答案的推理如下：
【先设想您是站在大球上看，在着地之后的那个瞬间，小球以速度2V撞来，必然以速度2V被大球撞飞。现在回到地球上来看，大球本身还有一个速度V呢，对吧？故小球与地球的相对速度是3V】
本题目的意义，不在于要求解能量或动量守恒方程，只要变换参照系进行观察，就很容易直接得到结果。这其实是学生理解相对论很重要的一种思维训练。。。否则，按照直觉，也许有人会相信：【一个无穷大质量的大球，撞向一个质量无穷小的小球，可能会将小球以无穷大的速度撞飞呢！】，哈哈！
话说回来，这个所谓的标准答案，真的很标准吗？
正如许多评论者所言，此标准答案，是数学的，而非物理的！
仔细想想，还真是如此！
【情况1】如果是真正的刚体，如果刚开始时，小球和大球是真正的密切接触（零距离接触），那么，按照刚体的定义（形变无穷小，力的传播速度无限大），小球和大球真的必须永远不分开，一直在一起跳啊跳啊。。。形影不离！这将是一个所谓平庸的结果。
【情况2】如果是真正的刚体，如果刚开始时，小球与大球之间有一个无穷小的间隙（非严格零距离接触，虽然距离趋于零），那么，所谓标准答案的那个假设才能成立。。。结果就是小球将以3V被弹开，然后，然后。。。可以出现无穷复杂的后续结果！
而这些后续结果的讨论，确实是可以发表PR文章的！
全慧兄就提供了两篇参考文献如下：
【REF1】：Two Balls in One Dimension with Gravity
Phys. Rev. A., Vol.42, No.2, p742-754, 1990.
【REF2】：一个简单硬球碰撞问题中的混沌
大学物理，第23卷，第10期，p54-55.
【情况3】正如评论者“bangjin”所言：
“傻子兄，其实从我的角度，我很不喜欢这样的题目。原因很简单。因为你的整个系统是基于刚体模型及完全弹性碰撞模型。对于很多情况，这样的建设并不会带来太多的麻烦，也不会引入太多的误差。可是对于你这个情况，却是很麻烦。一个良好的假设，应该是收敛的。也就是说，只要你假设的模型与实际的模型的误差，同计算误差之间，是可以用分析语言去论证它的收敛性的。。。”
二傻窃以为，该兄所言甚是精辟到位！
假如我们真的要做计算机程序或实验来验证本博文的结果，那么，如何比较各种无穷大或无穷小的相对大小，就变得十分重要了！
比如：大小球质量m/M的无穷小、大小球半径r/R的无穷小、小球与大球之间间隙的无穷小、球体形变的无穷小、球体形变传播速度的无穷大。。。。。。
虽然都是无穷小，但是，有的无穷小大一些，有的无穷小小一些。。。
虽然都是无穷大，但是，有的无穷大大一些，有的无穷大小一些。。。
两个无穷小相除，可以得到任何数！
两个无穷大相除，可以得到任何数！
两个无穷大相减，可以得到任何数！
两个无穷小相减？
还是无穷小，但是可能是正无穷小或负无穷小。
而正无穷小与负无穷小，其后果迥异！
到底具体是啥结果，就看您的物理图像定义清楚不清楚了！哈哈！
量子场论QED刚被提出的时候，由于其结果的无穷大发散问题，差点被直接枪毙！后来，就是靠这种【诡异】的“无穷大减无穷大等于有限大”的重整化程序，苟活到了今天！
二傻说了:“苟活”！就是“苟活”！真的! 嘿嘿！
P.S.
如果大家对本文想表达的意思弄得更清楚，强烈推荐去看二傻的另一篇博文
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