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辛几何的辛

已有 30297 次阅读 2018-8-3 08:34 |系统分类:论文交流

自己感觉这篇文章最没有信心了，就权当自己的读书笔记啦。请各位大佬使劲拍砖头！！

在汉语中，辛的含义很丰富，如含辛茹苦、辛亥革命、辛辣等等词汇中“辛”的意思都不一样。

一、何为辛几何？

对于力学、数学和理论物理工作者，有个很炫的术语“辛几何”，这当然不是“辛苦有多少”的意思。

辛几何是专业术语，指的是一种特殊的几何学。几何这一词是明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，徐光启对“geometria”的翻译，应是对"geo"的音译。

“辛几何”是华罗庚对“symplectic geometry”的翻译。因为symplectic与symmetric 都有“sym”,且“辛”的汉字也对称, 于是有人猜测“symplectic” 有对称的意味(而且对称性也是几何学的重要主题)。然而，symplectic 与“对称”没有关系。

大数学家外尔(Hermann Weyl)号称是最后一位“全能数学家”，他在研究复形群时，觉得用complex group会让读者误把其中的complex当成complex number(复数)的complex。为了避免这种尴尬，他提议使用希腊语形容词“symplectic”。

迪克森(Leonard Eugene Dickson)称“symplectic group”为阿贝尔线形群(Abelian linear group)，以纪念第一个对该群研究的阿贝尔。对Dickson 有个小花絮。据杨振宁自己说，吴大猷给了杨一本Dickson所写的小册子，叫做Modern Algebraic Theories(迪克森也是杨的父亲在芝加哥大学的老师）。杨感觉这本书写得非常合他的口味，因为小册子很精简，没有废话，在二十页之间就把群论中“表示理论”非常美妙地讲清楚了。杨认为学到了群论的美妙和群里的应用，对他后来的工作有决定性的影响。

至此，“辛”与力学和理论物理还没扯上关系。

二、辛几何何以变显学

在经典力学和理论物理研究中，哈密顿力学地位十分重要。哈密顿力学所刻画的随时间变化的物理过程可以等价为相空间的几何变换。

相空间也是一种坐标系。常规坐标系有x,y,z坐标轴，而相空间在常规坐标轴基础再增加坐标轴(或动量轴)。质点在初始时刻的位置和速度就对应相空间中一个广义的“点”。

相空间.jpg

所有感兴趣的“点”在相空间里组成一个高维块体(常规是三维块体，二维区域)。随着时间变化，这个块体会像面团一样变化，所以就文绉绉把这个块体叫流形(manifold)。--KFC对这个说法最不确信

上述流形肯定是千奇百怪的，其中符合外尔心目的symplectic 的, 就叫做symplectic manifold, 中文就翻译为辛流形。辛流形像面团一样被揉来揉去就叫辛拓扑(symplectic topology)，而symplectic group就叫辛群了。

之所以symplectic在经典力学和理论物理研究中时髦起来，是因为对保守系统(没有耗散)，辛流形的广义体积不随时间变化。

很多时候，被研究系统的微分方程太复杂，以至于寻找封闭的精确解已不可能的。此时，需要借助于计算机求数值解。求数值解需要把微分方程近似为代数方程的迭代。近似方法有多种，如形形色色的差分法，各种格式的龙格库塔法等等。

近似方法在每一个迭代步内有误差，所造成的误差还可能会在下一步迭代中被放大。或者换个名词，这相当于计算带来了虚假的计算阻尼。如果这种阻尼是“正”的还好，误差不会累积暴增。如果一不小心，迭代格式所造成的阻尼是“负”的，那么近似计算出来的系统能量会越来越大，计算结果就会发散(这时根本谈不上精度了)。

如果在构造近似格式时，首先约束格式要保证辛流形的体积不随迭代而变化，那么计算出来的“系统能量”就不会无限增大。不管精度如何，这至少数值结果不会发散了！

因为保守系统运用的广泛性和计算机分析的流行性，所以对能保正辛流形体积不变的迭代格式就特别受到计算科学家的重视。也因此，中文就把“保正辛流形体积不变的迭代格式”简称“保辛格式”，对应的英文术语是symplectic integrator。在构造算法时，会用上辛矩阵(symplectic matrix)和辛变换(symplectic)等概念。

目前对微观世界(理论物理)和日月星辰(天文学) , 几乎都不强调能量损耗(或认为就根本不存在)，而且其运行的时间尺度很大，所以若不用保辛格式，则很难得到长时间的行为。但是就很多工程问题，对耗散和摩擦都不能掩耳盗铃，所以辛算法是否还那么霸气呢？

最后再补一句，除了辛几何，英语中symplectic还是使用的，即symplectic bone（是“续骨”，不是“辛骨”！）。学习脊椎动物进化的时候要碰到。