欢迎大家来讨论一下nonlinear Schrödinger equation，Ginzburg-Landau equation和Gross-Pitaevskii equation 之间的联系和区别

     
我的理解是NLSE是最普遍的，后面两个是它的推广。
NLSE能描述的孤子态最少，只能亮或者暗的，没有两个共存的情况。
而且NLSE描述孤子态的是哈密顿孤子，没有损耗和增益，一碰到损耗就死。

nonlinear Schrödinger equation
                          iψ_t = −½ψ_xx + κ|ψ|²ψ.


NLSE中亮孤子的严格条件是：色散（时间光孤子）或者自聚焦介质（空间光孤子）。
NLSE中暗孤子严格条件是：正色散（时间光孤子）或者自散焦介质（空间光孤子）。

GLEQ用于超导体和光孤子，GPE用于BEC中的孤子态。
GLEQ倒是和GPE很像，而且它们描述的孤子态 之间有对应关系。

GLEQ中亮孤子非严格条件是：负色散（时间光孤子）或者自聚焦介质（空间光孤子）。
只所以称为非严格条件是：因为我们最近在正色散的光纤中也发现了亮孤子
                         (Optics Express, Vol. 17, Issue 2, pp. 455-460)。



依次类推，自散焦介质中也可以看到亮孤子，只是没人看到。

GLEQ中暗孤子非严格条件是：正色散（时间光孤子）或者自散焦介质（空间光孤子）。
依次类推，在负色散或者自散焦介质中也可能看到暗孤子，只是现在没有人看到。


BEC中亮孤子条件是：冷原子间吸引力。
BEC中暗孤子条件是：冷原子间排斥力。
依次类推，尽管原子间只有排斥力，但是也可以看到亮孤子，这个在nature上最近有报道。当冷原子间只有吸引力，如果在外加磁场的作用下，观察到了暗孤子。
这样看来，BEC中孤子态的研究反而超前于光孤子。因为，BEC中的孤子理论已经完全颠覆了NLSE中的经典孤子理论。

Gross-Pitaevskii equation



类比关系，BEC中的粒子间排斥力就相当于色散（时间光孤子）或者折射率（空间光孤子）

如果考虑到了非线性系统的多维性，多体性，损耗，增益以及孤子态之间的非线性耦合作用等等因素，就不能用NLSE，必需用扩展式GLEQ或者扩展式GPE。
并且，这个扩展式GLEQ或者扩展式GPE可以完全颠覆NLSE所描述的经典孤子理论：出亮孤子的地方可能出暗的，出暗的地方也可能出亮的。

假如考虑到了孤子态的矢量特性，多一个自由度会更加复杂。但是它们的物理本质是不会变的：GLEQ中得出的结论可以完全套到BEC中的孤子态，反之亦然。

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