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从引力波谈爱因斯坦的幸运
施郁 （复旦大学物理学系）
2016年2月12日是中国农历大年初五。因为所谓“抢财神”的习俗，在零点前后，我当时所在的城市鞭炮声大作。这成了我浏览互联网上铺天盖地的引力波被直接探测到的新闻发布和原始论文的喜庆伴奏。当时, 我想到爱因斯坦的幸运，便开始写这篇文章。
爱因斯坦曾经感叹牛顿的幸运，而他自己又何尝不幸运至极。他在广义相对论方面的工作就有很多幸运之处。
1 广义相对论的创立与引力波的预言
爱因斯坦说他“一生最愉快的想法”是1907年写一篇相对论的综述文献时想到的自由下落的人感受不到引力，即引力和加速的等效[1]。 这个幸运的思想，即等效原理，就是广义相对论的种子。
广义相对论的精髓是物质运动与时空几何的统一和相互影响，在引力场方程上表现为能量和动量与代表时空弯曲程度的量之间的相等。物质使得时空弯曲，需要用非欧几里德几何描述。爱因斯坦创立广义相对论时，物理学家对此还不熟悉，但数学上对于非欧几何已经有深入的研究。在20世纪50年代后的广义相对论和杨-米尔斯场论大发展之前，几何独立于理论物理，取得了长足的进展，可以用杨振宁的诗句“欧高黎嘉陈”概述（指欧拉、高斯、黎曼、嘉当、陈省身5位数学家）。而爱因斯坦创立广义相对论时，幸运地得到了他的数学家朋友格罗斯曼（M.Grossmann）的帮助，格罗斯曼发现，广义相对论所需要的数学已经被黎曼等人解决。这使得爱因斯坦最终能够成功地将物理思想用数学公式表达出来。1905年，爱因斯坦在博士论文上写着献给格罗斯曼，而在1955年，爱因斯又将他的自传献给已经去世的格罗斯曼[1]。
1915年，即创立狭义相对论并为量子论奠基十年以后，刚在前一年移居到柏林的爱因斯坦在个人婚姻纠葛的时期，终于创立了广义相对论[1,2,3]，并在次年预言了引力波的存在 [1,4]。1918年他得到引力辐射源的能量减少率与质量4极矩3阶变化率的关系 [1,5]。美国激光干涉引力波天文台（LIGO）观测到引力波这件事正好成为对广义相对论100周年的纪念。
创立广义相对论的高潮在于爱因斯坦1915年的一段非常紧张的工作[1,2]。6月他在哥廷根向希尔伯特等人作了一个星期学术报告，介绍他在广义相对论上的工作。10月，爱因斯坦发现自己工作有错误，还听说希尔伯特也发现了他的数学错误并正在取得进展。11月4日开始，按照既定安排，爱因斯坦在普鲁士科学院每个星期四作一次报告, 介绍广义相对论。也许是巨大的危机感使得巨大的创造力迸发出来，爱因斯坦终于在11月18日收到希尔伯特的文章之前取得成功，算出与天文观测相符的水星近日点进动，以及光线在太阳附近偏折。这一天他在第3次报告中介绍了这些结果。在11月25日的最后一次报告中，他写下正确的引力场方程。幸运的爱因斯坦！
1914年爱因斯坦移居柏林时已经有很高科学声望，这可以从普朗克等人为了把爱因斯坦请来柏林而给普鲁士科学院的那封著名的推荐信看出：“爱因斯坦对现代物理的几乎所有领域都有杰出贡献，不能因为他的光量子假说的偏离目标而过于责难他，因为在引入新思想时不可能不冒险”[1]。 然而，爱因斯坦在全世界公众中声名鹊起是在1919年。当时英国天文学家爱丁顿（A. Eddington）和克罗姆林(A. Crommelin) 分别带队去西班牙和巴西在日食期间观测了水星近日点和光线在太阳附近的弯曲，证明了爱因斯坦计算的正确。泰晤士报报道的标题是：“科学革命，宇宙新理论，牛顿理论被推翻”[1]。
这里又有爱因斯坦的一个幸运之处。1907年他意识到等效原理时，知道会有光线弯曲，但是觉得效应太小。 1911年，他还没有考虑空间弯曲，得到的结果与牛顿力学相近，是正确值的一半。1912年曾有人试图通过日食来观测，但因为下雨而未能成功。1914年夏天，有德国考察队去克里米亚试图通过日食来观测，但因为第一次世界大战爆发而流产。1914年爱因斯坦在一封信中曾写道：“不管日食观测成功与否，我对理论的正确性深信不疑。”[1] 但是幸运的是，在爱因斯坦没有算对的时候，没有观测检验，而在他算对后，得到了观测检验。
1861年，麦克斯韦写下后来以他的名字命名的电磁场方程，在接下来的几年内他提出了电磁波的存在，并认为司空见惯的光就是一种电磁波。他完备的专著发表于1864年。赫兹在1887年（即麦克斯韦去世8年后）人工产生并探测了无线电波这种电磁波。与之类似，1916年爱因斯坦发表了一篇论文，预言了引力波[2]。
1916年，在完成了引力波的研究之后，爱因斯坦又研究了量子电磁辐射理论，提出受激辐射的概念，作出普朗克辐射公式的一个新推导，并给出光子的动量、完善了他1905年的光量子假说。而量子电磁受激辐射正是激光的基础。在爱因斯坦去世60年后的现在，引力波被用激光直接探测到。对爱因斯坦而言，被探测的引力波和探测手段都可以追溯到他，幸运之至！
2 引力波的探测
波是振动的传播。而引力波所传播的是时空度规的振动或者说扰动, 可以简单称为“时空的涟漪”。度规是一种几何性质。比如平面或者球面上两点之间的间隔都可以用面上的坐标算出，但是公式不一样。这就是因为度规不一样。而在相对论中，有一个与参照系无关的固有时间间隔，它可由时间间隔和空间坐标间隔算出，具体的公式也取决于度规。当物质质量分布发生巨大的变化时，比如高密度天体（如中子星或者黑洞）之间碰撞或者恒星爆炸或坍塌时，会产生引力波。胡斯（R. A. Huse）和泰勒(J. H. Taylor Jr.)于1974年发现的脉冲双星（互相旋转的脉冲星及其伴星）的轨道不断减小可以用引力波导致能量损耗来解释，算是间接观测到引力波。他们获得了1993年的诺贝尔物理学奖。理论上认为，宇宙极早期的暴涨会产生原初引力波，从而导致宇宙微波背景辐射在某个尺度上有某种偏振现象。该现象被位于南极的宇宙学河外偏振背景成像（BICEP2）望远镜于2014年观察到，但是后来发现是尘埃造成的。
LIGO观测到的引力波产生于两个黑洞的并合 [6]。这是第一次观测到这种黑洞过程。大约13亿年前两个黑洞并合产生的引力波于2015年9月14日经过LIGO的两个探测器，幸运的是升级后的LIGO在两天前刚开始运行 [7]。两个探测器相距3002公里，每个探测器实际上是个巨大的迈克尔孙干涉仪，干涉仪的互相垂直的两臂各长4公里。每个臂处于一个法布里-珀罗（Fabry-Pero）腔里，两头的镜子使得激光在里面来回多次以后再出去与另一束激光干涉，所以每个光路达到引力波波长的1/4（对于100赫兹的引力波而言，这个长度是750km），大大提高灵敏度 [8]。垂直于干涉仪通过的引力波使得干涉仪的每个臂的长度各有微小的振荡，导致两条光路的相位差的振荡，从而给出振荡的干涉信号。至于需要两个分处两地的探测器，那是为了排除只被一个探测器测到的信号。
110年前，狭义相对论解释了迈克尔孙干涉仪测量以太漂移的零结果。现在，迈克尔孙干涉仪又测量到了引力波，检验了广义相对论。确实，现代光学和精密测量技术对引力波探测立下汗马功劳，使得LIGO能够测出等于质子大小万分之一的两臂长度差。历史上，引力波探测曾催生量子非破坏性测量的概念，也有原来从事引力波探测的研究人员成为量子测量的专家。
1969年韦伯（J. Weber）曾声称用分处两地的几个共振棒探测到了引力波，虽然后来被普遍认为是错的，却激发了引力波探测的发展。 皮拉尼（F. A. E. Pirani）首先提出用光测量引力波引起的相邻粒子的距离变化。在此基础上，外斯（R. Weiss）提出用迈克尔孙干涉仪方法，最终导致了他与德雷福（R. Drever）和索恩（K. Thorne）等人领头的LIGO的建立 [7]。其他国家也有类似项目。
在4种基本相互作用中，只有电磁作用和万有引力是长程的。因此除了验证广义相对论，引力波开启了人类认识宇宙的一个新窗口或者说新途径，即引力波天文学。以前观测宇宙都是用各种电磁波,不管是可见光、红外光、x射线、伽马射线，还是无线电波。但有些过程是无法通过电磁波去观测的，比如产生这次引力波的两个黑洞的并合过程。而且还可以将引力波、电磁波和中微子的探测结合起来，黑洞和宇宙学的研究会受到很大的推进。
3 爱因斯坦1937年的引力波论文
回到爱因斯坦。1933年爱因斯坦移居到美国普林斯顿，引力、统一场论和对量子力学的质疑是他当时关心的问题。爱因斯坦和他的助手罗森（N. Rosen）寻找引力波方程的平面波解，发现这使得度规不可避免会有奇点（变得无穷大）。现在我们知道这只是表明单一坐标系不足以描述平面引力波，就好比南极和北极的经度无法确定，不是物理上真正的奇点。但是他们当时却以此认为引力波不存在。1936年，他们写了一篇文章投到美国期刊《物理评论（Physical Review）》[9,10]。这时，爱因斯坦的幸运表现在文章被编辑泰特（John Tate）退回，要求考虑审稿人的意见。审稿意见长达10页，出于专家之手，指出爱因斯坦和罗森的错误，并给出了用圆柱坐标的方法。在给泰特的信中，审稿人仍然认为这篇文章有值得赞誉之处，还说也可以修正打字错误后发表[9]。泰特在给爱因斯坦的信中写道：“在发表你的文章之前，我希望看到你对审稿人对你们稿件所作的各种评论和批评的反应。”[10] 这说明只要爱因斯坦作些修改，文章就可以发表。但是爱因斯坦对于文章被送审这件事感到气愤，没有研究审稿意见，而把文章原封不动地改投到《富兰克林学会会刊（Journal of Franklin Institute）》。文章很快被接受。爱因斯坦再次幸运的是，从加州理工学院等地访问回来的同事罗伯森（H. P. Robertson，以宇宙学度规闻名，量子力学教科书中不确定关系的证明也源于他）通过爱因斯坦的新助手英菲尔德告诉他们爱因斯坦-罗森工作的错误，并帮助解决了问题。这导致最后发表出来的文章结论完全改变了，成为圆柱引力波 [11]。爱因斯坦幸运地没有否定自己20年前对引力波的预言。现在我们知道，爱因斯坦本来可以通过阅读《物理评论》的审稿人意见知道自己的错误和解决方法，因为罗伯森正是泰特为爱因斯坦-罗森文章所找的审稿人。这段历史的详细分析和记述来源于2005年肯尼菲克发表于《Physics Today》的文章 [9]以及刘寄星发表于《物理》的文章 [10]。后者是依据美国物理学会期刊主编布鲁姆（M. Blume）所作的报告，包含肯尼菲克文中所没有的泰特致爱因斯坦两封信件的复印件和内容。刚出现LIGO探测到引力波的传言时，我脑海里出现了爱因斯坦最初投给《物理评论》的文章题目：“引力波存在吗(Do gravitational waves exist)”。
3 爱因斯坦的其它几篇文章
1936年的爱因斯坦幸运地被同行评议制度避免发表一篇错误的论文，而1905年的爱因斯坦恰恰曾幸运地因为德国《物理学年鉴(Annalen derPhysik)》的宽松而得以在该杂志发表5篇改变物理学的论文，特别是看上去离经叛道的光量子和狭义相对论论文。当时该杂志的拒稿率只有百分之几 [9]，而作为理论编辑的普朗克（M. Planck）是很宽容的。爱因斯坦移居普林斯顿后，与玻多尔斯基（B. Podolsky）和罗森合作的质疑量子力学完备性的论文（EPR论文）[12]以及爱因与罗森合作的关于爱因斯坦-罗森桥（即虫洞）的论文 [13]都未经审稿而在物理评论发表 [9]。后来的历史表明这两篇文章也极为重要，当然是应该发表的。EPR成了爱因斯坦被引用最多的论文。肯尼菲克认为引力波当时是广义相对论众所周知的预言，所以泰特经过犹豫后将爱因斯坦和罗森证明它不存在的这篇论文送审。而关于爱因斯坦-罗森桥的论文是当时与别人进行的一个争论，所以未经审稿直接发表。那么，质疑当时从一个胜利走向另一个胜利的量子力学的EPR论文为何不经审稿直接发表呢？笔者认为，这是因为EPR承认量子力学技术上的正确性，质疑的只是量子力学的完备性，即是否完全描述客观实在，讨论具有哲学性质，并没有引力波论文那样的与共识相悖。笔者认为，关于爱因斯坦-罗森桥的论文未经审稿直接发表的原因也应该是它没有引力波论文那样的与共识相悖。 顺便说一下，最近这两篇论文在关于黑洞量子性质的理论讨论中被联系起来。
【插播：最近人们发现EPR的P，即玻多尔斯基是间谍（链接）!】
4 宇宙学常数
1917年，爱因斯坦将广义相对论用于宇宙学[14]。如果只有引力而没有斥力，宇宙整体上不能保持静止，所以他在引力场方程中又加了一个代表斥力的宇宙学常数项，虽然他也觉得这个做法很不自然（现在我们知道这也不能真正使宇宙静止）。但是很快人们开始讨论宇宙膨胀，从弗里德曼(A. Friedmann) 、勒梅特（G. Lamaite）和德希特（W. de Sitter）等人的模型研究到哈勃(E. Hubble)在1929年的观测发现。 大爆炸宇宙学的创始人伽莫夫（G. Gamow）在他的自传《我的世界线(My Worldline)》中告诉我们，爱因斯坦曾说过宇宙学常数是他一生最大的错误 [15]，（顺便提一下，笔者本科生时代读到伽莫夫这本书后，一直记忆犹新，所以将世界线用于本人的博客名称中。） 所以1936年爱因斯坦和罗森关于引力波的文章所用的引力场方程中，已经没有宇宙学常数。但是在当代，作为联系宇宙学与微观的量子场论的一个桥梁，宇宙学常数成了一个重要的研究课题。近年来宇宙加速膨胀和暗能量的发现更使得宇宙学常数的概念得到复活。这又是爱因斯坦的幸运，虽然他失去了预言宇宙膨胀的机会。
5 杨振宁的评论
最后，用笔者与杨振宁先生以前的一段讨论结束本文。
施郁：您认为爱因斯坦(而非麦克斯韦)是仅次于牛顿的伟大物理学家。我也这样认为。您能不能简单说说您的理由？
杨振宁：麦克斯韦是一位伟大的物理学家，他对人类的贡献无法可以被夸大。但是从对物理学基本概念的贡献的角度来说，他不能与爱因斯坦相比。爱因斯坦（1）改变了我们对于时间和空间的理解，从而给理论物理带来对称性的概念和对称性支配相互作用的思想，（2）创造了引力的几何概念，（3）帮助创立了量子力学。
致谢 感谢杨振宁先生的讨论和阅读本文。
参考文献
[1] Pais A, Subtleis the Lord. Oxford: Oxford University Press, 1982.
[2] Isaacson W. Einstein:His Life and Universe. New York: Simon & Schuster, 2007.
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[5] Einstein A. Concerning gravitational waves [J]. Sitzungsber. K. Preuss. Akad. Wiss., 1918 (1):154-167.
[6] Abbott B P, etal. (LIGO Scientific Collaboration and the Virgo
Collaboration). Observationof Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger [J]. Phys. Rev. Lett., 2016,116: 061102.
[7] Berti E. TheFirst Sounds of Merging Black Holes [J]. Physics, 2016, 9: 17.
[8] LIGO，https://www.ligo.caltech.edu/
[9] Kennefick D. Einsteinversus Physical Review. Physics Today, 2005 58 (9): 43-48. 作者后来将这篇文章的内容收进他的书Traveling at thespeed of thought, Princeton University, Princeton: Princeton University Press,2007.
[10] 刘寄星. 爱因斯坦和同行审稿制度的一次冲突 [J]. 物理, 2005, 34 (7) : 487-490.
[11] Einstein A, RosenN. On gravitational waves [J]. J. Franklin Institute, 1937, 223: 43-54.
[12] Einstein A, PodolskyB, Rosen N.Canquantum-mechanical description of physical reality be considered complete? [J].Phys. Rev. 1935, 47: 777-780.
[13] Einstein A, Rosen N. Theparticle problem in the general theory of relativity [J]. Phys. Rev., 1935, 48:73-77.
[14] Einstein A. Cosmologicalobservations on the general theory of relativity [J]. Sitzungsber. K. Preuss.Akad. Wiss., 1917 (1): 142-152.
[15] G. Gamow, MyWorldline, New York: Viking, 1977.
相关专题：人类首次探测到引力波
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