在前一篇文章中，我解释了什么叫弱值，这个也是测量仪器给出的测量结果。在标准量子测量中，测量仪器测出来的是物理量的本征值，大量的结果取平均，就是平均值。这个概念是量子力学的基础。因为态叠加原理，每次测量的结果是不一样的，所以只能给出平均值。
而如果进行了后选择，如果测量是弱的，那么这个测量出来的结果就叫做弱值，也是统计平均的结果。实际上，就是强测量，也可以进行后选择，然后测量结果也和平均值不一样，但是如何定义，现在还不清楚。最近有一些一般性的研究正在出现，但是结论还不清晰。 
我们来看一看，后选择究竟会导致量子指针多大的变化，也就是这个弱值的大小究竟是多大。弱值是定义在相互作用无穷小的极限下的。这个物理量在1988年阿哈诺夫的文章中就已经给出来了。这里我们用的是2007年Jozsa的工作，因为这篇文章讨论了弱值的大小。
在后选择量子测量中，需要准备一个量子系统的初态，然后后选择的时候，还要确定这个量子系统的末态，也就是说量子系统的信息都是确定的。
如果没有后选择，测量的就是这个初态，它的平均值就是
，
如果有后选择，就会测量出一个弱值，这个结果是
，
带i的是初态，带f的是末态。这里边的希腊字母是一样的。如果末态和初态几乎是正交的，那么下边这个分母就会非常小，所以这个弱值就会非常大。而且一个更加有趣的是，这个弱值它是复数。这在刚开始的时候都挺让人惊奇的。
实验装置可以测量一个复数么？当然不会，实验装置只能测出一个结果。这意味着什么呢？我们需要两个测量装置，测量一对共轭变量。
Jozsa在这盘文章中给出了这个弱值的实部和虚部的具体结果。让量子指针处于∣φ〉中，这样在相互作用加上后选择下
指针就变成了
这个计算其实是很简单的。但是如果在一般情况下计算，你算不出来精确解。
这里边的A就是要测量的物理量，作用在量子系统上，比如一个量子比特。这里边的p就是动量算符，让量子指针发生位置变化。g就是耦合强度。如果g趋于无穷小，就可以有一个小量展开
看看弱值就这么出来。我要强调的是，这个弱值是实验仪器可以观测的结果。可以看到这里边的关键其实就是放大了作用强度。
我们关心的是这个指针的变化有多大，所以需要定义初态的平均值和末态的平均值
这个差就是变化量。
定义涨落
Jozsa推导出了变化量为
这两个变化，能看到位置和动量都有变化。其中a和b就是弱智的实部和虚部大小。一般来说不考虑第一项的求导作用。所以呢，就很清楚，位置的变化就是ga,相互作用被放大了。
而第二项，就是动量的变化，本来相互作用是导致位置的变化，但是后选择也导致了动量发生了变化。能看到这个变化和动量的涨落有关。如果弱值只有虚部，那么就只会在动量方向上发现变化，而这个变化和动量的涨落成正比。涨落越大，变化越大。所以热态可以给出更好的动量方向的变化。
我们不用从历史的发现的逻辑来看。后来一些研究者开始计算精确解，我和李刚应该是最早的一批专注于精确解的研究者中的两个，现在的研究这种趋势已经越来越重要的了。
弱值仅仅是一级近似的结果，所以不是那么的准确。
从精确解的计算我们可以知道，这个变化的大小，是由涨落来决定的。变化的最大值，就是这个涨落。由于一般的情况无法精确计算，所以只能算具体的情况。但是这个结论是具有一般性的。这个结果其实是很好理解的。因为这个指针的变化，是纠缠导致的。我们很难想象，一个后选择，会让一个量子指针从一个位置移动到距离非常远的地方。如果真是这样，这就是魔术了。
弱值是一个观测量。上边的弱值的公式，只是g趋于无穷小的时候的一级近似。当然可以考虑高阶的近似，但是意义不大。因为这个精确的结果，就是涨落除以弱作用所产生的变化。
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