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[转载]有序偶——有序偶的概念对于定义笛卡尔积和关系是至关重要的

已有 221 次阅读 2021-7-31 19:36 |系统分类:科研笔记|文章来源:转载

有序偶

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在数学中,有序偶是两个对象的搜集,使得可以区分出其中一个是“第一个元素”而另一个是“第二个元素”(第一个元素和第二个元素也叫做左投影右投影)。

中文名有序偶定义两个对象的搜集相关术语无序偶外文名ordered couple用途用来表示二维空间上的点应用学科数学



1释义

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在数学中,有序偶是两个对象的搜集,使得可以区分出其中一个是“第一个元素”而另一个是“第二个元素”(第一个元素和第二个元素也叫做左投影右投影)。带有第一个元素a和第二个元素b的有序偶通常写为(a,b)。

符号(a,b)也表示在实数轴上的开区间;在有歧义的场合可使用符号

2一般性

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设(a1,b1)和(a2,b2)是两个有序偶。则有序偶的特征或定义性质为:

有序偶可以有其他有序对作为投影。所以有序偶使得能够递归定义有序n-元组(n项的列表)。例如,有序三元组 (a,b,c)可以定义为(a, (b,c)),一个对嵌入了另一个对。这种方法也反映在计算机编程语言中,就是从嵌套的有序对构造元素的列表。例如,列表 (1 2 3 4 5)变成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp编程语言使用这种列表作为基本数据结构。

有序偶的概念对于定义笛卡尔积和关系是至关重要的。

3集合论中定义

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诺伯特·维纳在1914年提议了有序偶的第一个集合论定义:

他注意到这个定义将允许《数学原理》中所有类型只透过集合便能表达。

4标准Kuratowski定义

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公理化集合论中,有序偶(a,b)通常定义为库拉托夫斯基对:

陈述“x是有序对p的第一个元素”可以公式化为

而陈述“x是p的第二个元素”为

注意这个定义对于有序偶p= (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }仍是有效的;在这种情况下陈述(∀Y1∈p, ∀Y2∈p:Y1≠Y2→ (x∉Y1∨x∉Y2))显然是真的,因为不会有Y1≠Y2的情况。

5变体定义

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上述有序偶的定义是“充足”的,在它满足有序偶必须有的特征性质(也就是:如果(a,b)=(x,y)则a=x且b=y)的意义上,但也是任意性的,因为有很多其他定义也是不更加复杂并且也是充足的。例如下列可能的定义

  1. (a,b)reverse:= { {b}, {a,b} }

  2. (a,b)short:= {a, {a,b} }

  3. (a,b)01:= { {0,a}, {1,b} }

“逆”(reverse)对基本不使用,因为它比通用的Kuratowski对没有明显的优点(或缺点)。“短”(short)对有一个缺点,它的特征性质的证明会比Kuratowski对的证明更加复杂(要使用正规公理);此外,因为在集合论中数2有时定义为集合{ 0, 1 } = { {}, {0} },这将意味着2是对 (0,0)short

6性质证明

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Kuratowski对: 证明:(a,b)K= (c,d)K当且仅当a=c且b=d。

仅当:

如果a=b,则 (a,b)K= {{a}, {a,a}} = { {a} },且 (c,d)K= {{c},{c,d}} = { {a} }。所以{c} = {a} = {c,d},或c=d=a=b。

如果a≠b,则{{a}, {a,b}} = {{c},{c,d}}。

如果{c,d} = {a},则c=d=a或{{c},{c,d}} = {{a}, {a,a}} = {{a}, {a}} = { {a} }。但这样{{a}, {a, b}}就会等于{{a}},继而b = a,跟先前的假设矛盾。

如果{c} = {a,b},则a=b=c,这矛盾于a≠b。所以{c} = {a},即c=a,且{c,d} = {a,b}。

并且如果d=a,则{c,d} = {a,a} = {a}≠{a,b}。所以d=b。

所以同样有a=c且b=d。

当:

反过来,如果a=c并且b=d,则显然{{a},{a,b}} = {{c},{c,d}}。所以 (a,b)K= (c,d)K

对: (a,b)reverse= {{b},{a,b}} = {{b},{b,a}} = (b,a)K

如果 (a,b)reverse= (c,d)reverse,则 (b,a)K= (d,c)K。所以b=d且a=c。

反过来,如果a=c和b=d,则显然{{b},{a,b}} = {{d},{c,d}}。所以 (a,b)reverse= (c,d)reverse

7Quine-Rosser定义

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Rosser(1953年)扩展了蒯因有序偶定义。Quine-Rosser的定义要求自然数的先决定义。设N是自然数的集合,是N在x内的相对差集,并定义:[1]

φ(x)包含在x中所有自然数的后继,和x中的所有非数成员。特别是,φ(x)不包含数0,所以对于任何集合A和B,

以下是有序对 (A,B)的定义:

提取这个对中那些不包含0的所有元素,然后再还原的作用,就得出了A。类似的,B可以通过提取这个对的包含0的所有元素来复原。

有序偶的这个定义有个显著的优点。在类型论和从类型论派生出的集合论如新基础中,这个对与它的投影有相同的类型(所以术语叫做“类型齐平”有序对)。因此一个函数(定义为有序偶的集合),有只比序对的投影的类型高1的类型。

8Morse定义

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Morse(1965年)提出的Morse-Kelley集合论可以自由的使用真类。Morse定义有序对的方法,使得它的投影可以是真类或者集合。(Kuratowski定义不允许这样)。它首先像Kuratowski的方式那样,定义投影为集合的有序偶。接着,他重定义对 (x,y)为[2]

这里的笛卡尔积是指由Kuratowski对组成的集合并且

这便允许了定义以真类为投影的有序偶

9参见

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  • 笛卡儿积

  • 二元关系


参考资料:

1.

J. Barkley Rosser, 1953. Logic for Mathematicians. McGraw-Hill.  

2.

Morse, Anthony P., 1965. A Theory of Sets. Academic Press  




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