科学网-说课（12）（Lebesgue积分的意义）实变函数-曹广福的博文

说课（12）（Lebesgue积分的意义）实变函数

2015-7-22 10:26

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有朋友告诉我，某个网站有我全部的“说课”下载，但需要付费，问是不是我建的网站。我哪有那个闲工夫搞什么网站，即便科学网把我开除网籍，我也没兴趣去另建一个网站。只是这网站用我的文章赚钱却不知会我一声，似乎有点不够意思。为方便大家，我就给出已有的《实变函数》说课的链接，《高等数学》与《泛函分析》的链接容后再给出。

曾有个心愿，希望将《高等数学》、《实变函数》与《泛函分析》这三门课程的全部教学设计写出来，但断断续续的写，每个系列都没写完，我担心万一哪天走路时磕倒了再也起不来，岂不是失信于大家？所以还是抽点时间将未竟的事情做完。

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上回说到Lebesgue积分到底能否取代Riemann积分，要回答这个问题，需要弄清楚为什么会出现Lebesgue积分？我相信每个有经验的老师都会在课堂上引入一个新的概念前讲清楚为什么会出现这个概念。数学虽然似乎离自然科学原来越远，但追根溯源，他始终游离于逻辑、符号与大自然之间，与大自然保持着若即若离的暧昧关系。如果不是这样，可以肯定，这门数学分支的前景不那么乐观，终将在数学的历史长河中被荡涤干净。

Lebesgue积分也并非空中楼阁，它与科学家们一直追逐不放的一类问题有关，这类问题最早可以追溯到古希腊的面积问题。事实上，微积分的诞生与这类问题也有着密切关系，它是推动微积分发展的源动力之一。众所周知，在牛顿-莱布尼兹公式诞生之前，一般图形的面积问题是个很具挑战性的问题，大多是聪明绝顶之人玩的游戏，自从牛顿-莱布尼兹公式诞生之后，对于普通人而言，面积问题不再是一个可望不可及的问题。但微积分能解决的问题毕竟是有限的，他远远解决不了自然科学中出现的所有问题。简单地说，无论是数学内部还是自然科学中出现的更一般问题，微积分显得有点无能为力。甚至微积分内部存在的一些问题它自己也回答不了，例如，一个函数如果是Riemann可积的，那么这是个什么样的函数？或者说，一个函数Riemann可积的充要条件是什么？更严重的问题是，当你试图用一个函数序列近似取代原来那个函数从而进行近似计算的时候，最终发现，你费尽九牛二虎之力构造出来的序列尽管收敛到原来那个函数，可“能量”积分却是无法控制的。换句话说，你构造的函数序列的积分与极限是不能交换顺序的，这的确是一件令人沮丧的事，好比一个人好不容易爬到山巅想翻越那座山，待他攀上山顶一看，眼前是悬崖峭壁，再往前一步便是万丈深渊，根本无法逾越，你一切的汗水都白流了。数学研究有如探险，有时需要帮自然科学家探明方向，哪条路是走得通的。

实际上，早在Lebesgue积分产生之前，人们对于更一般的面积问题就已经进行了很多探索，只不过称呼与现在有所不同，那时既不叫面积，也不叫后来的测度，而是叫“溶度”（Capacity），其中最为著名也是在Lebesgue测度产生之后用得最多的一类测度叫Borel测度，Borel是Lebesgue 的老师，不过青出于蓝而胜于蓝，Lebesgue的工作几乎覆盖了所有前人的工作，当然也包括他的老师。

絮絮叨叨了这么多，还没有回到根本问题上来，历史上为什么会出现Lebesgue积分？Lebesgue积分为什么重要？它对数学产生了什么样的影响？

前面已经说过了，Riemann积分有着严重的缺陷，这种缺陷是其自身的定义所带来的，除非改变积分定义，否则这个缺陷注定无法避免。仔细分析一下Riemann积分的定义后你会发现，要保证一个函数的Riemann积分存在，对这个函数需要有比较高的要求，它必须“基本”上连续，不能太不守“规矩”。当然，这仅仅是直觉，要验证这一直觉需要费一番周折，这里暂不详解，这就严重限制了可积函数的范围，微积分中有很多不可积函数的例子。其次，正如前面所说，即使一个函数序列的极限是存在的，其极限函数也未必可积，即使极限函数可积，其函数序列积分的极限也未必等于极限函数的积分。这说明了什么呢？Riemann可积函数类关于极限不是封闭的，或者说Riemann可积函数全体关于通常意义下的极限（具体地说即逐点极限）是不完备的。但凡学过一点数学的人都知道完备的重要性。例如有理数集合不是完备的，实数集合是完备的，所以很多在实数集中成立的结论在有理数集中不成立。因为只要你的问题涉及极限，那么这个极限是否存在？它将跑到哪里去？这些都是必须解决的问题。Lebesgue积分恰好弥补了Riemann积分的缺陷，它使得你不必再为这类问题操心。事实上，Lebesgue积分不仅大大扩大了可积函数的范围，也使得积分与极限交换顺序问题变得异常简单。当然，老师在课堂上不能像我的博文这样蜻蜓点水般一带而过，需要做比较详细的讲解。对于普通读者来说，了解其大意足矣。

实变函数说课系列链接

1、说课（1）--实变函数

（http://blog.sciencenet.cn/blog-40247-418049.html）

2、说课（2）--实变函数

（http://blog.sciencenet.cn/blog-40247-418421.html）

3、说课（3）（超穷归纳法）—实变函数

（http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=40247&do=blog&id=424286）

4、说课（4）（再论有限覆盖）--实变函数

（http://blog.sciencenet.cn/blog-40247-425276.html）

5、说课（5）（Lebesgue测度）--实变函数

（http://blog.sciencenet.cn/blog-40247-427516.html）

6、说课（6）（从逐点收敛到一致收敛）--实变函数