不动点定理不仅是泛函分析的重要分支，也是拓扑学的重要研究领域。拓扑学中最著名的不动点定理莫过于Brouwer不动点定理，这个定理是说：“欧氏空间中闭单位球到自身的连续映射至少有一个不动点，”这个定理可以推广到任意的凸紧集。在阐述不动点定理的重要性之前，先来看看Brouwer不动点定理在说什么。

    我们通过最简单的情形来说明Brouwer不动点定理，假设y=f(x)是闭区间[0,1]（一维欧氏空间中的闭单位球）到自身的连续映射，那么这个函数的图像与直线y=x（第一象限的角平分线）一定相交。换句话说，存在x∈[0,1]，使得f(x)=x。函数y=f(x)保持x不动，所以把x称为f(x)的不动点。

    不动点问题与方程的求解密切相关，理论上讲，方程的求解问题可以转换成不动点问题。事实上，方程Tx=0可以转换成T’x=x，其中T’x=Tx+x，求方程Tx=0的解等价于求T’的不动点。众所周知，如果函数y=f(x)是闭区间[a,b]上单调递增或递减并有连续的导函数，且f(a)f(b)<0，则可以根据图像的凹凸性利用Newton切线法求方程f(x)=0的解。这个求解过程可以转化成求不动点问题从而机械化求解：

    不妨假设函数y=f(x)在[a,b]上单调递增且下凸，则可以在b点附近任取一点x₀，函数y=f(x)的图像过(x₀，f(x₀))点的切线方程为y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)，该直线与x轴的交点为x₁=x₀-[ f(x₀)/ f’(x₀)]( f’(x₀)可能等于0吗？)。再过(x₁，f(x₁))做曲线的切线，求直线与x轴的交点，可得x₂= x₁-[ f(x₁)/ f’(x₁)]，依此类推，可以得到一个递推方程

x_n= x_n-1-[ f(x_n-1)/ f’(x_n-1)]，

假如记Tx=x-[ f(x)/ f’(x)]，则上式可以写成x_n=Tx_n-1。不难看到f(x)=0等价于Tx=x。接下来的问题就是考察序列x_n是否收敛了，你会证明收敛性吗？假设x_n收敛到c，则有c=Tc，即f(c)=0。这个方法称为迭代算法，它是计算函数或更一般的映射不动点的基本方法。

    一般度量空间中的不动点理论是泛函分析的重要研究领域，虽然这一领域的后期研究有点走火入魔了，但不动点定理给数学以及博弈论带来的影响是深刻的。泛函分析中的不动点定理有很多，但大学泛函分析课程中通常主要介绍Banach不动点定理（也称压缩映像原理），所谓压缩映射是指满足d(Tx,Ty)<αd(x,y)的映射，其中α是小于1的正常数。压缩映像原理是说，Banach空间中的压缩映射有且只有一个不动点，其证明方法与上面的Newton切线法大同小异，即任取空间中一点x₀，令x₁=Tx₀，…，x_n=Tx_n-1，只要证明{x_n}收敛，然后根据T的连续性（压缩映射为什么连续？）便可以得到Tx=x的解（你能按此思路给出完整的证明吗？）。利用压缩映像原理可以证明一些积分、微分方程解的存在性。

    老师在课堂上除了要重点介绍Banach不动点定理及其基本的证明思想，还应该通过一些重要的例子阐明不动点定理的应用特别是与方程求解之间的关系，在可能的情况下，最好简单介绍一下不动点定理的相关历史以及它与博弈论的关系。我们知道博弈论的一个核心概念是均衡点理论，通俗点说就是最佳策略。在竞争市场上，生产同一类产品的商家不可能完全按照自己的意愿随意决定产品的价格，因为你的价格偏高了，消费者可以购买别的品牌产品作为替代，你的产品价格偏低了，可能会让你的利润受损，所以一定存在一个众商家都愿意接受的价格，这个价格就叫均衡价格，博弈论告诉我们，这样的均衡价格是存在的。如果谁不遵守均衡价格，就会打破市场平衡，逐步形成新的均衡价格。市场存在很多种情况，一种是信息透明，另一种是信息不透明，信息透明意味着信息是对称的，所有市场参与者都知道，信息不透明意味着信息不对称，所以博弈分完全信息博弈与不完全信息博弈。此外参与人可能同时选择策略或者在不知道对方作何选择的情况下选择策略，也可能在别人作出选择后再进行选择，所以又有静态博弈与动态博弈之分。在所有这些不同的博弈中是否都存在均衡点？解决这个问题的工具恰恰是不动点定理。