完备的内积空间称为Hilbert空间，需要注意的是，内积空间貌似没有涉及到距离（或范数），那么这里的完备性相对于什么而言呢？回顾欧氏空间中内积与距离（或向量长度）的关系不难发现，在一般的内积空间中同样有一个与内积密切相关的范数，这就是

||x||=(<x, x>)^1/2

不难验证这是个范数，由此可见内积可以诱导一个范数，换句话说，内积空间是赋范空间。

如前文所说，一般线性距离空间或线性赋范空间中的几何非常复杂，可否在赋范空间中引入适当的内积使之成为内积空间呢？这样的内积当然不能胡乱构造，它与空间原有的赋范结构得是相容的，也就是说，范数与内积应满足等式

||x||=(<x, x>)^1/2。

这就需要我们找出内积与范数之间的关系，或者说，能够用范数表示这个内积，揭示这一关系的是著名的极化恒等式

<x, y>=(1/4)(||x+y||² - ||x-y||² + i||x+iy||² – i||x-iy||²)。

由此看来，赋范空间也是内积空间了，只需按照极化恒等式炮制一个内积即可。且莫盲目乐观，假如果真如我们所愿，也就不会有Banach空间与Hilbert空间之别了。在欧氏几何中向量长度之间不仅满足三角不等式，还满足平行四边形法则，直接计算不难发现由内积诱导的范数也满足平行四边形法则，即

||x+y||² + ||x-y||² =2(||x||² + ||y||²)

它是说：“平行四边形对角线长度平方之和等于四个边的边长平方之和”。因此，如果范数可以诱导出一个内积的话，这个范数必须满足平行四边形法则。遗憾的是，并非所有的范数都具有这个性质！你能举个例子吗？不满足平行四边形法则的范数不可能诱导一个内积，满足平行四边形法则的范数是否一定可以诱导一个内积？幸运的是，结论是肯定的。

内积空间蕴含了大量的特殊空间，最为广泛运用的是各种函数空间。回顾傅里叶分析中函数的三角级数展开，假设f(x)是[-π,π]上的Riemann可积函数，则f(x)有傅里叶展开：

f(x)∽∑_n=-∞^∞(a_ncosnx+b_nsinnx)

其中a_n=(1/π)∫_-π^πf(x)cosnxdx, b_n=(1/π)∫_-π^πf(x)sinnxdx，n≠0, a₀=(1/2π) ∫_-π^πf(x)dx。如果用内积的语言来叙述，傅里叶系数a_n、b_n分别是函数f(x)与三角函数cosnx、sinnx的内积，即

a_n=<f(x), cosnx>, b_n=<f(x), sinnx>。

如果我们的记忆没有问题，一定还记得微积分中几个积分式

<cosnx，cosmx>=0，<sinnx, sinmx>=0,n≠m；<cosnx, sinmx>=0。

这就是说，{cosnx，sinnx}_n=-∞^∞是相互直交的函数集合。

众所周知，即使f(x)是连续函数，其傅里叶级数也未必收敛到该函数，事实上，傅里叶级数的收敛性是个非常复杂的问题，需要一点专门的手段才能解决它，但如果限定在L²([-π,π])中考察，情况就简单多了，原因就在于L²([-π,π])是个Hilbert空间。

由于Hilbert空间中存在内积，所以研究Hilbert空间的一个基本想法是建立直角坐标系（在线性代数中叫正交基），在有限维欧氏空间中，只要找到一组最大线性无关组，就可以利用施密特正交化过程得到一个正交基。这个方法在一般的Hilbert空间中遇到了困难，因为空间中可能存在不可数多线性无关的向量，你如何将它们正交化？即使你找到了一组正交向量，如何判断它是否为正交基？

首先要弄清楚什么叫正交基，在有限维欧氏空间Rⁿ中，所谓正交基指的是一组满足下列条件的向量{e_i}_i=1ⁿ:

(1) e_i⊥e_j, i≠j，||e_i||=1;

(2) 对任意x∈Rⁿ，存在c₁,…,c_n∈R，使得

x=c₁e₁ + … + c_ne_n

其中c_i可以用内积来表示，即c_i=<x,e_i>。将这一概念推广到Hilbert空间的困难在于（2），有人会说，这还不简单？大家都学过级数理论，用级数表示就是了。不要忘记微积分中讲的级数指的是最多可数个函数项之和，而在Hilbert空间中可能存在不可数个相互正交的向量，这就涉及到不可数个项之和的问题，即如果M={e_λ}_λ∈Λ是Hilbert空间中的正交向量构成的集合，级数∑_λ∈Λc_λe_λ是什么意思（其中c_λ是复数）？受有限维空间的启发，对任意x∈H，也可以令c_λ=<x,e_λ>，级数∑_λ∈Λ<x,e_λ>e_λ有意义吗？它与x是什么关系？两者是否相等？有意思的是，可以证明在这个级数中，最多只有可数多个<x，e_λ>不等于0。因此只需考察该级数的收敛性以及与x的关系，假如对H中的任意向量x，等式x=∑_λ∈Λ<x,e_λ>e_λ皆成立，则可以称M为H的一个正交基，上述级数也称为x的傅里叶级数。这样的M是否存在？如何判断空间的一个正交集是否为正交基？证明任何Hilbert空间均有正交基需要利用所谓的超穷归纳法，在实变函数《说课》系列中介绍过这一方法，大家不妨一试。

判断Hilbert空间中一个正交向量集M是否为正交基的基本方法是判断空间中是否有与该正交集中所有向量都正交的非零向量，如果有，M显然不是正交基，如果没有，M就是个正交基。还有一个方法是通过Hilbert空间中向量的范数与其“傅里叶系数”的关系来判断。在欧氏空间中，如果x=c₁e₁ + … +c_ne_n，则||x||=(|c₁|² + … +|c_n|²)^1/2，在Hilbert空间中是否有类似的等式？这就是著名的巴塞佛公式，即M={e_λ}_λ∈Λ是正交基当且仅当对任意x∈H，巴塞佛公式：

X=(∑_λ∈Λ|<x,e_λ>|²)^1/2

成立。