我上课的原则历来是尽可能引导学生学会“如何发现原理”，而不是直接告诉学生一个原理然后给出证明。在讲授泛函分析课程时发现学生对本应该在实变函数课程中学习的L^p空间理论感到很陌生。尽管课时非常紧张，但学习泛函分析不了解一些具体的空间与算子，如同给房子搭了个空架子，里面空无一物。

L^p中三角不等式的证明是极富技巧性的，需要利用Holder不等式证明三角不等式。如果我按部就班直接告诉学生Holder不等式，然后用它来证明三角不等式。课堂处理很容易，我也会省很多事。问题是，三角不等式是很自然的，只是证明有一定难度，但Holder不等式是怎么来的？这个问题可不是懂什么教育理论就能教明白的。

我首先从Cauchy不等式开始，说明它对于证明p=2时的三角不等式的重要性，然后对一般的p>1进行分析，关键是如何将两个函数的和|f+g|的p方积分用f和g的p方积分控制。这里p是一般的大于1的实数，试图展开是徒劳的，但既然p>1，可以分离出一个一次项，这样便可以得到f与g的因子：

|f+g|^p=|f+g||f+g|^p-1≤|f||f+g|^p-1+|g||f+g|^p-1

两边积分便得到了两个函数乘积|f||f+g|^p-1及|f||f+g|^p-1的积分，现在的问题是如何将因子|f|与|f+g|^p-1分离，这就有点像Cauchy不等式了。不同的是，这里需要考虑一个问题：|f+g|^p-1在什么空间中？因为|f+g|在L^p中，即|f+g|^p可积，需要判断|f+g|^p-1在什么样的空间L^q中，即如何确定q的值？因为是课堂上灵机一动做的事，在分析这个问题的过程中，稍微走了一点弯路。这个q值要保证|f+g|^(p-1)q可积，显而易见应该有(p-1)q=p，因此q应该取值为：q=p/(p-1)。不难验证，这个q满足：1/p+1/q=1。接下来的问题自然是判断是否的确有想要的不等式，即如果f在L^p中，g在L^q中，|fg|的积分不大于f的L^p范数与g的L^q范数的乘积？这就是著名的Holder不等式。与过去大家习惯的教法不同，这里的重点在如何发现Holder不等式，然后才是如何证明的问题。

课后学生说：“老师，这节课好难啊！”的确，正如我开始便向大家说过的，泛函分析一旦回到具体的例子--“函数空间”，就会陷入很强的技巧与演算中。但我们应该善于通过这种技巧与演算发现新的东西，这才是研究型教学。真正的研究型教学并非师生如何你问我答的互动，学生如何自主学习，那都是站着说话不腰疼的胡扯。指望学生自己去发现Holder不等式或三角不等式的证明思路？纯属天方夜谭，即使对于牛逼学府的大多数学生而言也是难以企及的事。学生思维能力的培养绝不是学生依靠自己的独立思考、分组合作等方式完成的，而是要通过教师在不断的分析过程中引导学生发现新的现象、新的规律、新的技巧，学生紧紧跟着教师的思路去思考，在潜移默化中慢慢熏陶、锤炼，久而久之，逐渐内化成学生自己的思维能力。

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