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为什么要在高中阶段学集合? 精选

已有 5281 次阅读 2023-1-16 10:09 |个人分类:数学|系统分类:教学心得

         集合在数学中的地位不言而喻。熊惠民教授《数学思想方法通论》第107页说道:

         正如数学家卢米斯所说,“现代数学的特点之一,就是当一种新的数学对象刚刚定义和讨论不多时,就立即考察全体这样对象的集合”。数学基础的研究表明,大部分数学理论都可以集合论为基础得到建立,集合论能够为现代数学研究提供一个合适的概念框架。因此,“集合论是数学的最根本的探讨,真正的数学家只考虑完全以集合论术语给出其最终形式的那种问题”(格利森)。也正是在这样的意义上,亚历山大洛夫认为:“集合的思想和概念已经渗透到数学的所有分支,并且改变了它们的面貌,所以不熟悉集合论的原理,就不可能对近代数学获得正确的理解”,“集合论观点的统治地位也是现代数学的特点”。正是由于集合论观点的渗透和公理化方法的运用,现代数学达到了更高的抽象程度和更强的统一性。

         上面所述的这一段话,每个系统接受过本科数学类专业训练的人都能感同身受。所以数学类专业学生需要对集合概念有一个相当深刻的理解,这一点毋庸置疑。那么为什么要在高中阶段学集合?为什么无论未来学习任何专业的学生,都需要对集合概念有一个基本的了解?

         讨论高中阶段学习集合的必要性,就是要说明集合的学习能给后续高中阶段的数学学习带来便利。

         高中数学在第一章就介绍集合。能够确定、不同的对象汇集在一起就能组成一个集合,因此集合概念的覆盖面很广。集合之间有包含关系,集合之间可以做交、并、补运算。即使这只是对集合理论的一个相当粗浅的介绍,但是足以为后续的数学学习带来很多便利。

         陈双双,王海平主编的《高中数学“说概念”》里明确指出:应用集合的符号语言,可以表示方程和不等式的解集,又可以表示函数的定义域、值域和单调区间,也可以表示随机事件及其关系和运算,还可以表示立体几何中的点、线、面之间的位置关系。

1. 方程和不等式的解集

         不等式的解集概念在初中就已经得到。但是初中是借助几何直观,在数轴上画一个范围,然后比如说不等式的解集是x>1. 但是不等式的解集到底是什么,没有严格的定义。而且说解集是x>1,好像解集应该是一个不等式,那么主语和宾语搭配都有问题。高中学了集合概念,就可以明确定义不等式的解集:以不等式为特征性质的集合。然后再求不等式的解集,都是可以给出严格证明的。学生对不等式解集的概念就不再是一知半解,而是一个彻底的理解。

2. 函数的定义域、值域和单调区间

         初中函数概念采用的是“变化说”,高中在此基础上将函数概念上升为“对应说”。然后很自然的要考虑自变量的取值范围和函数值的取值范围。取值范围是什么?如果像初中那样说取值范围是个不等式,恐怕也难以让学生完全信服了。定义域和值域借助集合概念有了严格的定义,那么后续讨论也都是严格的。关于单调性,初中只是介绍了一次函数和二次函数的单调性,学生对于函数在某一段随着自变量的增大而减小,在另一段随着自变量的增大而增大有了一个直观的认识。但是在高中函数“对应说”和区间的集合定义基础上,函数的单调性就有了简洁又深入本质的定义。

3. 随机事件及其关系和运算

         随机事件是概率论的基本概念。把随机事件视为一种特殊的集合,然后借助集合的关系和运算的定义,随机事件的关系和运算又有独特的意义。例如“事件A包含于B”可以表示“A发生时B一定发生”,“事件AB的交”可以表示“事件AB同时发生”。这种独特的意义从集合论的观点看来就是集合的关系和运算,从而有关一般集合的关系和运算的性质都适用。

4. 立体几何之间的点、线、面之间的位置关系

         立体几何中可以把点视为元素,线、面视为集合。然后很多立体几何中的点、线、面之间关系可以借助集合语言刻画。例如立体几何中线与面的三种关系:相交、平行、在内,本质上都是集合之间的关系。我在课上讲线面平行性质定理的证明时指出,尽管线面平行有着鲜明的几何意义,但是这个证明完全是集合论的,完成证明甚至都不需要把图画出来。

         基于以上分析,高中数学一上来就学一点简单的集合论,对于后续数学教学的展开是非常必要的。当然布尔巴基学派曾经尝试让小学生就学习集合,然后导致数学教育的失败,这是一个极端的行为:小学生的思维能力尚不足以驾驭集合这种抽象程度的概念。但是高中生已经建立的思维能力,学一点简单的集合论是足够的。国家课程标准对于集合的要求程度,也是合适的。




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